Un riscaldatore a serbatoio agitato viene modellato con due variabili di stato: il livello del liquido (h) e la temperatura del liquido (T). Un bilancio totale di materia determina come varia il livello, mentre un bilancio energetico determina come varia la temperatura del liquido ben miscelato. Insieme, queste equazioni prevedono il comportamento transitorio dopo variazioni della portata in ingresso, della portata in uscita, della temperatura di ingresso o dell’apporto termico del vapore, e definiscono le condizioni di regime stazionario quando entrambe le derivate rispetto al tempo sono nulle.

Il livello e la temperatura del liquido costituiscono la memoria dinamica del sistema. La conservazione della massa governa (h), la conservazione dell’energia governa (T) e le equazioni differenziali risultanti collegano gli ingressi e i disturbi dell’impianto pilota alle uscite misurabili del processo.

Identificazione delle variabili di stato

Il livello del liquido come variabile di stato

Per un serbatoio con area della sezione trasversale costante (A), il volume del liquido è (V=Ah). Il livello (h) è quindi sufficiente per descrivere la massa di liquido immagazzinata nel serbatoio quando la densità è considerata costante.

Il bilancio di materia è

[ A\frac{dh}{dt}=F_i-F ]

dove (F_i) è la portata volumetrica in ingresso e (F) è la portata volumetrica in uscita.

L’equazione indica che il livello del liquido aumenta quando la portata in ingresso supera quella in uscita e diminuisce quando la portata in uscita supera quella in ingresso. Se (F_i=F), il livello rimane stazionario.

La temperatura come variabile di stato

Poiché il serbatoio è agitato, si assume comunemente che il liquido sia perfettamente miscelato. La temperatura in uscita è quindi uguale alla temperatura del serbatoio (T).

La temperatura diventa una variabile di stato necessaria ogni volta che l’obiettivo di controllo include le prestazioni di riscaldamento o la temperatura dell’effluente. Essa rappresenta l’energia termica immagazzinata nel liquido e varia quando l’energia entra o esce dal serbatoio.

Scelta degli stati in base all’obiettivo di controllo

Un esperimento di controllo del livello può richiedere soltanto il bilancio di materia e (h) come variabile di stato. Un esperimento di controllo della temperatura richiede sia il bilancio di materia sia il bilancio energetico, perché il volume del serbatoio influisce sulla sua capacità termica.

Questo è un principio pratico di modellazione: includere gli stati necessari per descrivere le uscite controllate e i relativi meccanismi di accumulo dinamico, evitando però equazioni di bilancio che non influiscono sull’obiettivo.

Applicazione della conservazione della massa

Formulazione del bilancio dinamico

L’espressione generale della conservazione è

[ \text{Accumulo}=\text{Ingresso}-\text{Uscita} ]

Per densità del liquido costante e un serbatoio con volume (V=Ah),

[ \frac{dV}{dt}=F_i-F ]

Sostituendo (V=Ah) si ottiene

[ A\frac{dh}{dt}=F_i-F ]

Questa è un’equazione differenziale del primo ordine per lo stato del livello.

Interpretazione degli ingressi

La portata in ingresso (F_i) è generalmente una variabile manipolata o un disturbo, a seconda della configurazione dell’impianto. La portata in uscita (F) può essere controllata direttamente da una pompa o da una valvola, oppure può dipendere dal livello attraverso uno scarico azionato dalla gravità.

Il bilancio di materia non determina direttamente la temperatura. Determina la quantità di liquido disponibile per immagazzinare energia termica e influisce quindi indirettamente sulle dinamiche della temperatura.

Determinazione del regime stazionario del livello

In regime stazionario,

[ \frac{dh}{dt}=0 ]

pertanto il bilancio di materia diventa

[ F_i=F ]

Questa condizione è utile per verificare sia un modello matematico sia un punto operativo dell’impianto pilota. Una discrepanza persistente tra la portata in ingresso e quella in uscita indica che il livello deve continuare a variare.

Applicazione della conservazione dell’energia

Formulazione del bilancio termico

Il bilancio energetico tiene conto dell’energia termica che entra con l’alimentazione, esce con il flusso in uscita e proviene dal riscaldatore a vapore. Nell’ipotesi di densità e capacità termica costanti, il bilancio è

[ Ah\frac{dT}{dt}

F_i(T_i-T)+\frac{Q}{\rho c_p} ]

dove:

(T_i) è la temperatura del liquido in ingresso,
(Q) è il calore fornito dal vapore,
(\rho) è la densità del liquido,
(c_p) è la capacità termica del liquido.

Il termine a sinistra rappresenta l’accumulo termico associato al volume di liquido. Il termine (F_i(T_i-T)) rappresenta l’effetto termico convettivo netto della sostituzione del liquido del serbatoio con il liquido in ingresso.

Comprensione del termine di apporto termico

La potenza termica (Q) aumenta la temperatura del serbatoio quando è positiva. La divisione per (\rho c_p) converte la potenza termica fornita in un contributo equivalente alla variazione volumetrica della temperatura.

In un modello d’impianto più dettagliato, la relazione tra le condizioni del vapore e (Q) può essere rappresentata attraverso un coefficiente di scambio termico, l’area della serpentina, la pressione del vapore o un modello dell’attuatore. L’equazione di conservazione rimane la descrizione a livello di processo del modo in cui tale calore modifica la temperatura del liquido.

Riconoscimento dell’accoppiamento con il livello

L’equazione dell’energia contiene (h) nel termine di accumulo (Ah,dT/dt). Un livello più elevato significa una maggiore massa termica del liquido, quindi lo stesso apporto termico produce generalmente una risposta più lenta della temperatura.

Questo accoppiamento implica che i disturbi del livello possono influire sulle dinamiche della temperatura anche quando l’apporto di vapore rimane invariato. Le equazioni del livello e della temperatura dovrebbero quindi essere risolte insieme quando entrambe le variabili variano in modo significativo.

Determinazione del regime stazionario della temperatura

In regime stazionario,

[ \frac{dT}{dt}=0 ]

Il bilancio energetico diventa

[ 0=F_i(T_i-T)+\frac{Q}{\rho c_p} ]

oppure, in modo equivalente,

[ T=T_i+\frac{Q}{\rho c_p F_i} ]

nelle ipotesi indicate e con unità coerenti. Questa espressione mostra come la temperatura stazionaria dipenda dalla temperatura di ingresso, dalla portata e dalla potenza termica.

Utilizzo del modello per la dinamica dei processi

Definizione di ingressi, disturbi e uscite

Le variabili manipolate tipiche includono la potenza termica del vapore (Q), la portata in ingresso (F_i) o la portata in uscita (F). I disturbi comuni includono variazioni della temperatura di ingresso (T_i), della portata di alimentazione, della pressione del vapore o delle proprietà del liquido.

Le uscite misurate includono comunemente il livello del serbatoio (h), la temperatura del serbatoio (T), la temperatura in uscita e talvolta le portate. Le equazioni di stato forniscono il modello dinamico interno che collega queste grandezze.

Simulazione delle risposte transitorie

Fornite le condizioni iniziali (h(0)) e (T(0)), le due equazioni differenziali possono essere integrate nel tempo dopo un gradino o un’altra variazione di un ingresso.

Ad esempio, la variazione di (Q) produce un transitorio di temperatura, mentre la variazione di (F_i) può produrre sia un transitorio del livello sia una risposta della temperatura. Risolutori numerici come ode45 di MATLAB o solve_ivp di Python possono calcolare le traiettorie quando le equazioni sono non lineari o variabili nel tempo.

Linearizzazione attorno a un punto operativo

Per l’analisi del controllo, le variabili sono spesso espresse come scostamenti dal regime stazionario:

[ h'=h-h_s,\qquad T'=T-T_s,\qquad T_i'=T_i-T_{i,s},\qquad Q'=Q-Q_s ]

dove il pedice (s) indica il punto operativo nominale.

Con ulteriori ipotesi, come livello e portata costanti, il modello della temperatura può essere ridotto a una forma del primo ordine:

[ \frac{dT'}{dt}+aT'

\frac{1}{\tau}T_i'+KQ' ]

I parametri (a), (\tau) e (K) riassumono gli effetti della portata, della capacità termica e del comportamento dello scambio termico. Questa forma è utile per ricavare funzioni di trasferimento, stimare il tempo di risposta e progettare regolatori a retroazione.

Confronto del modello con i dati dell’impianto pilota

Gli studenti possono applicare disturbi controllati, registrare le misure di livello e temperatura e confrontare le curve misurate con le previsioni del modello. Le differenze possono rivelare ritardi dei sensori, miscelazione imperfetta, perdite di calore, proprietà variabili, limitazioni degli attuatori o una stima non accurata della potenza termica.

La validazione del modello dovrebbe includere verifiche sia transitorie sia a regime stazionario. Un modello credibile dovrebbe riprodurre la condizione iniziale, raggiungere il corretto regime stazionario e soddisfare le equazioni di bilancio governanti.

Comprensione dei compromessi

Ipotesi semplificative

Il modello di base generalmente assume miscelazione perfetta, densità costante, capacità termica costante, perdite di calore trascurabili e temperatura uniforme nel serbatoio. Può inoltre considerare l’area del serbatoio e le portate come note e costanti.

Queste ipotesi rendono il modello adatto all’insegnamento e alla progettazione iniziale del controllo, ma possono essere inadeguate per previsioni ad alta accuratezza o per condizioni operative fortemente variabili.

Comportamento accoppiato e non lineare

L’equazione dell’energia è accoppiata al livello attraverso (Ah). Se il livello varia considerevolmente, l’equazione della temperatura presenta un termine di accumulo termico variabile nel tempo e potrebbe non comportarsi come un sistema del primo ordine a parametri fissi.

Un modello che assume un livello costante può essere utile per gli studi sul controllo della temperatura, ma non dovrebbe essere utilizzato senza verificare che le variazioni del livello siano piccole rispetto al livello operativo.

Perdite di calore e dinamiche degli attuatori

I serbatoi reali perdono calore attraverso le pareti, le tubazioni e l’ambiente circostante. Anche le valvole del vapore e le serpentine di riscaldamento presentano dinamiche che separano il segnale di ingresso comandato dal calore effettivamente trasferito al liquido.

Ignorare questi effetti può rendere la risposta di temperatura prevista più rapida o più favorevole rispetto a quella misurata. Tali effetti dovrebbero essere aggiunti quando l’accuratezza del modello o la robustezza del regolatore lo richiedono.

Modellazione eccessiva o insufficiente

Utilizzare soltanto un bilancio del livello è insufficiente per il controllo della temperatura perché omette l’accumulo termico. Al contrario, aggiungere bilanci di specie, di reazione o di entalpia dettagliati non è necessario quando l’impianto pilota contiene un liquido non reattivo con proprietà pressoché costanti.

Il modello appropriato è determinato dall’obiettivo di controllo, dall’intervallo operativo e dall’accuratezza richiesta dall’esperimento.

Scelta corretta in base all’obiettivo

Il modello dovrebbe essere adeguato alle variabili controllate dell’esperimento, ai disturbi e all’accuratezza previsionale richiesta.

Se l’obiettivo principale è il controllo del livello: Utilizzare il bilancio di materia (A,dh/dt=F_i-F) e considerare (h) come principale stato dinamico.
Se l’obiettivo principale è il controllo della temperatura: Includere entrambi i bilanci, di materia ed energia, perché il volume del liquido determina l’accumulo termico e (T) è lo stato termico controllato.
Se l’obiettivo principale è la progettazione del regolatore: Linearizzare il bilancio energetico attorno a un punto operativo stazionario e utilizzare variabili di deviazione per stimare il tempo di risposta e il guadagno di processo.
Se l’obiettivo principale è la validazione del modello: Confrontare i transitori simulati di livello e temperatura con i dati dell’impianto pilota in presenza di disturbi noti, tenendo poi conto, ove necessario, delle perdite di calore, del ritardo dei sensori e del comportamento degli attuatori.

I bilanci di conservazione trasformano il riscaldatore a serbatoio agitato da un insieme di apparecchiature in un sistema dinamico predittivo, le cui risposte di livello e temperatura possono essere analizzate, testate e controllate.

Tabella riassuntiva:

Elemento del modello	Relazione governante	Indicazione sul processo
Stato del livello, h	A dh/dt = F_i - F	Le portate in ingresso e in uscita determinano le variazioni del livello del liquido.
Stato della temperatura, T	Ah dT/dt = F_i(T_i - T) + Q/(rho c_p)	Le condizioni dell’alimentazione e la potenza del riscaldatore determinano le dinamiche della temperatura.
Regime stazionario del livello	F_i = F	Il livello del serbatoio è costante quando le portate in ingresso e in uscita coincidono.
Regime stazionario della temperatura	T = T_i + Q/(rho c_p F_i)	La temperatura stazionaria dipende dalla temperatura di alimentazione, dalla portata e dalla potenza termica.
Ingressi tipici	F_i, F, Q, T_i	La portata, il riscaldamento a vapore e la temperatura di alimentazione agiscono come ingressi o disturbi.
Applicazioni del modello	Simulazione, linearizzazione, controllo, validazione	Il modello supporta l’analisi transitoria e il confronto con i dati dell’impianto pilota.
Ipotesi principali	Miscelazione perfetta, proprietà costanti, perdite di calore trascurabili	Per ottenere maggiore accuratezza possono essere necessarie ulteriori dinamiche relative alle perdite di calore, ai sensori e agli attuatori.

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Come vengono applicati i principi di conservazione e le variabili di stato per modellare un riscaldatore a serbatoio agitato in un impianto pilota di dinamica dei processi?