I fluidi newtoniani producono profili di velocità parabolici, mentre i fluidi non newtoniani a legge di potenza producono profili la cui forma cambia con l'indice di comportamento del flusso (n). Per un fluido newtoniano, la velocità sulla linea centrale è il doppio della velocità media e la portata segue la relazione di Hagen-Poiseuille, (Q \propto R^4(-d\mathcal{P}/dz)/\mu). Per un fluido a legge di potenza, il profilo dipende da (n) e la portata volumetrica dipende sia dall'indice di consistenza (m) che dal gradiente di pressione elevato alla potenza (1/n).
In un modulo a tubo circolare, il flusso newtoniano ha un profilo parabolico fisso perché la viscosità è costante. Il flusso a legge di potenza cambia forma con la velocità di taglio: i fluidi pseudoplastici (shear-thinning) diventano più piatti e simili a un pistone, mentre i fluidi dilatanti (shear-thickening) diventano più appuntiti.
Come differiscono i profili di velocità
Flusso laminare newtoniano
Per un flusso laminare stazionario e completamente sviluppato di un fluido newtoniano, la velocità assiale al raggio (r) è
[ v_z(r)=2U\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right], ]
dove (U) è la velocità media della sezione trasversale e (R) è il raggio del tubo.
La velocità è zero alla parete a causa della condizione di non scivolamento. Raggiunge il suo massimo sulla linea centrale:
[ v_{\max}=2U. ]
Questo rapporto fisso tra velocità centrale e media è il risultato parabolico caratteristico utilizzato negli esperimenti introduttivi sul flusso nei tubi.
Flusso non newtoniano a legge di potenza
Per un fluido a legge di potenza descritto da
[ \tau_{rz}=-m\left|\frac{dv_z}{dr}\right|^n, ]
il profilo di velocità laminare completamente sviluppato è
[ v_z(r)=\left(\frac{3n+1}{n+1}\right)U \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^{(n+1)/n}\right]. ]
Il rapporto tra velocità centrale e media è quindi
[ \frac{v_{\text{CL}}}{U}=\frac{3n+1}{n+1}. ]
Questa espressione si riduce correttamente a (v_{\text{CL}}/U=2) quando (n=1), recuperando il profilo parabolico newtoniano.
Effetto dell'indice di comportamento del flusso
Il valore di (n) controlla la forma del profilo.
- Fluidi pseudoplastici (shear-thinning), (n<1): Il profilo è più piatto vicino al centro e presenta un gradiente di velocità più ripido vicino alla parete. Al diminuire di (n), la velocità centrale si avvicina alla velocità media.
- Fluidi newtoniani, (n=1): Il profilo è parabolico, con (v_{\text{CL}}=2U).
- Fluidi dilatanti (shear-thickening), (n>1): Il profilo diventa più appuntito, con un rapporto tra velocità centrale e media maggiore rispetto al valore newtoniano.
Ad esempio, (n=0.2) fornisce
[ \frac{v_{\text{CL}}}{U}=\frac{1.6}{1.2}\approx1.33, ]
mentre (n=2) fornisce
[ \frac{v_{\text{CL}}}{U}=\frac{7}{3}\approx2.33. ]
L'alternativa spesso citata ((3n+1)/(2n+1)) non è coerente con il profilo a legge di potenza dichiarato e non dovrebbe essere utilizzata per il rapporto tra velocità centrale e media.
Come differiscono le portate volumetriche
Portata newtoniana
Per un fluido newtoniano, la portata volumetrica è data dall'equazione di Hagen-Poiseuille:
[ Q=-\frac{\pi R^4}{8\mu}\frac{d\mathcal{P}}{dz}. ]
La portata è direttamente proporzionale all'entità del gradiente di pressione e inversamente proporzionale alla viscosità dinamica costante (\mu).
La forte dipendenza da (R^4) significa che anche una modesta variazione del raggio del tubo può produrre una grande variazione della portata. Questa relazione è conveniente per gli impianti pilota didattici perché le misurazioni della caduta di pressione possono essere confrontate direttamente con un modello newtoniano lineare.
Portata a legge di potenza
Per un fluido a legge di potenza, la portata volumetrica è
[ Q=\pi R^2U ]
e, sotto le stesse ipotesi di flusso laminare completamente sviluppato,
[ Q= \left(\frac{n\pi}{3n+1}\right) \left(-\frac{1}{2m}\frac{d\mathcal{P}}{dz}\right)^{1/n} R^{(3n+1)/n}. ]
A differenza dell'espressione newtoniana, il termine del gradiente di pressione è elevato a (1/n). La resistenza apparente cambia quindi al variare della portata operativa.
Anche la dipendenza dal raggio cambia rispetto alla relazione newtoniana (R^4). Per (n=1), l'equazione a legge di potenza si riduce al risultato di Hagen-Poiseuille, a condizione che (m=\mu).
Perché i test sulle pompe producono risultati diversi
In un esperimento newtoniano, cambiare la velocità della pompa modifica la portata e la caduta di pressione in base a una viscosità relativamente fissa. In un esperimento a legge di potenza, cambiare la velocità della pompa modifica anche la viscosità apparente perché cambia la velocità di taglio.
Per un fluido pseudoplastico, l'aumento del flusso può ridurre la viscosità apparente e produrre un aumento della caduta di pressione meno che proporzionale. Un fluido dilatante si comporta nella direzione opposta e potrebbe richiedere una pressione di pompaggio in rapido aumento all'aumentare della portata.
Cosa osservano gli studenti in un impianto pilota
Caduta di pressione e misurazione del flusso
Un modulo a tubo circolare combina tipicamente una pompa a velocità variabile con la misurazione del flusso e prese di pressione lungo la sezione di prova. Gli studenti possono confrontare i dati misurati (Q) rispetto alla caduta di pressione con le equazioni newtoniane e a legge di potenza.
Per i liquidi newtoniani, la relazione è coerente con la viscosità costante. Per i fluidi non newtoniani, la pendenza misurata cambia con le condizioni operative perché la viscosità apparente dipende dalla velocità di taglio.
Taglio alla parete e distribuzione del taglio
Per il flusso in tubo completamente sviluppato, lo sforzo di taglio varia linearmente da zero sulla linea centrale al suo valore massimo alla parete. Il gradiente di velocità richiesto per produrre tale sforzo dipende dal modello del fluido.
Questa distinzione è importante nel bioprocessing e nel trasporto di polimeri perché il taglio alla parete può influenzare cellule, particelle, struttura dei polimeri e qualità del prodotto.
Tempo di residenza e interpretazione della miscelazione
Il profilo di velocità influenza il modo in cui il materiale si muove attraverso il tubo. Un profilo parabolico newtoniano crea una differenza maggiore tra le velocità sulla linea centrale e vicino alla parete, mentre un profilo pseudoplastico trasporta una regione centrale più ampia a velocità vicine alla media.
Di conseguenza, la forma del profilo influenza le distribuzioni del tempo di residenza e l'interpretazione degli esperimenti con traccianti. La sola portata media non descrive completamente il comportamento del trasporto.
Temperatura e condizioni di processo
La viscosità newtoniana può variare sostanzialmente con la temperatura anche se non dipende dalla velocità di taglio. La viscosità apparente non newtoniana può variare sia con la temperatura che con la velocità di taglio, quindi i cicli di controllo della temperatura sono importanti quando si confrontano le misurazioni dell'impianto pilota.
Le condizioni operative devono essere registrate insieme ai dati di pressione e flusso se i risultati devono essere utilizzati per l'upscaling.
Comprendere i compromessi
Il modello a legge di potenza è un'approssimazione
Il modello a legge di potenza è utile per descrivere il comportamento pseudoplastico e dilatante su un intervallo di velocità di taglio selezionato. Non rappresenta ogni fluido non newtoniano né garantisce previsioni accurate al di fuori dell'intervallo utilizzato per determinare (m) e (n).
I fluidi con uno sforzo di snervamento, come i plastici di Bingham, richiedono un modello diverso perché il flusso non inizia finché lo sforzo applicato non supera lo sforzo di snervamento.
Il flusso laminare completamente sviluppato è un'ipotesi
Le equazioni presuppongono un flusso stazionario, completamente sviluppato e assialsimmetrico in un tubo circolare. Effetti di ingresso, raccordi, curve, pulsazioni della pompa e flusso turbolento o di transizione possono far sì che le perdite di pressione misurate differiscano dalla previsione analitica.
I dati dell'impianto pilota dovrebbero quindi distinguere le perdite per attrito della sezione di prova dalle perdite locali causate da apparecchiature e collegamenti.
Pseudoplasticità non significa resistenza uniformemente bassa
Un fluido pseudoplastico può avere una viscosità apparente inferiore ad alte velocità di taglio, ma la viscosità effettiva può essere ancora elevata nelle regioni a basso taglio. Ciò è particolarmente rilevante vicino al centro del tubo e in zone scarsamente miscelate o stagnanti.
La selezione della pompa deve considerare l'intero intervallo operativo, non solo la viscosità apparente misurata a una portata nominale.
La strumentazione può distorcere il confronto
I misuratori di portata e i sensori di pressione sono solitamente calibrati nel modo più semplice per i fluidi newtoniani. Il comportamento non newtoniano, le pompe a spostamento positivo pulsanti, le variazioni di temperatura e un posizionamento inadeguato delle prese di pressione possono introdurre errori di misurazione.
Il valore educativo del modulo dipende dal controllo di queste variabili e dal confronto delle misurazioni con le ipotesi alla base di ciascun modello.
Applicare il confronto al lavoro in impianto pilota
L'approccio più utile è far corrispondere il modello del fluido e il metodo di misurazione all'obiettivo dell'esperimento.
- Se l'obiettivo principale è il comportamento fondamentale del flusso laminare: Utilizzare un liquido newtoniano ben caratterizzato e verificare il profilo parabolico, (v_{\max}=2U), e la relazione di portata di Hagen-Poiseuille.
- Se l'obiettivo principale è il trasporto di polimeri o brodi biologici: Determinare (m) e (n) nell'intervallo di velocità di taglio rilevante, quindi utilizzare il profilo a legge di potenza e l'equazione della portata per l'analisi della caduta di pressione e il dimensionamento della pompa.
- Se l'obiettivo principale è il comportamento del tempo di residenza: Confrontare le diverse forme del profilo invece di fare affidamento solo sulla velocità media, poiché il flusso pseudoplastico può avere una distribuzione della velocità centrale più piatta.
- Se l'obiettivo principale è la selezione delle apparecchiature: Misurare come la caduta di pressione cambia con la portata e la temperatura, quindi valutare se il pompaggio centrifugo o a spostamento positivo fornisce l'intervallo operativo richiesto.
- Se l'obiettivo principale è l'upscaling: Includere il diametro del tubo, il taglio alla parete, le perdite all'ingresso e locali, la temperatura e i limiti del modello reologico nel calcolo del progetto.
Comprendere il legame tra reologia, forma del profilo di velocità e flusso guidato dalla pressione consente a un impianto pilota di funzionare sia come apparato didattico che come strumento pratico di upscaling.
Tabella riassuntiva:
| Caratteristica | Fluido Newtoniano | Fluido Non Newtoniano a Legge di Potenza |
|---|---|---|
| Profilo di velocità | Forma parabolica fissa | La forma varia con l'indice di comportamento del flusso, n |
| Velocità centrale rispetto alla media | v_CL/U = 2 | v_CL/U = (3n + 1)/(n + 1) |
| Comportamento della viscosità | Costante a una data temperatura | La viscosità apparente cambia con la velocità di taglio |
| Relazione di portata | Q è proporzionale al gradiente di pressione | Q è proporzionale al gradiente di pressione elevato a 1/n |
| Dipendenza dal raggio | Q è proporzionale a R^4 | Q è proporzionale a R^((3n+1)/n) |
| Effetto tipico del profilo | Forte variazione della velocità dal centro alla parete | I fluidi pseudoplastici sono più piatti; quelli dilatanti sono più appuntiti |
| Focus dell'impianto pilota | Verificare il flusso di Hagen-Poiseuille e la viscosità costante | Valutare reologia, caduta di pressione, pompaggio, taglio e upscaling |
| Limitazioni principali | Temperatura, effetti di ingresso e perdite locali | Intervallo reologico, temperatura, strumentazione e perdite locali |
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