La conservazione della quantità di moto nell'analisi del volume di controllo è scritta come un bilancio di forze su una regione di fluido fissa o in movimento. Utilizzando la seconda legge di Newton con il teorema del trasporto di Reynolds, la velocità di accumulo della quantità di moto all'interno del volume di controllo più il flusso netto di quantità di moto convettiva attraverso la sua superficie di controllo è uguale alla forza esterna totale. La forza totale è separata in forze di volume, che agiscono in tutto il volume del fluido, e forze di superficie, che agiscono attraverso la superficie di controllo tramite pressione e sforzi viscosi.

L'equazione della quantità di moto del volume di controllo è [ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho \mathbf{v},dV +\oint_{CS}\rho \mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA =\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV +\oint_{CS}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n},dA. ] Il lato destro contiene il contributo delle forze di volume e il contributo delle forze di superficie.

Come viene formulata la conservazione della quantità di moto

Partire dalla seconda legge di Newton

Per un sistema materiale, la seconda legge di Newton afferma che la forza esterna netta è uguale alla variazione della quantità di moto:

[ \mathbf{F}_{\text{net}}

\frac{d}{dt}\int_{\text{system}}\rho\mathbf{v},dV. ]

Qui, (\rho) è la densità del fluido e (\mathbf{v}) è il vettore velocità.

Per un elemento di fluido materiale, la stessa relazione può essere espressa in forma differenziale come:

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f}, ]

dove (D\mathbf{v}/Dt) è l'accelerazione materiale e (\mathbf{f}) è la forza netta per unità di volume.

Applicare il teorema del trasporto di Reynolds

Un volume di controllo è una regione selezionata nello spazio attraverso la quale il fluido può fluire. Il teorema del trasporto di Reynolds converte il bilancio del sistema in un bilancio del volume di controllo tenendo conto sia della quantità di moto immagazzinata all'interno del volume che della quantità di moto trasportata attraverso il suo confine.

Per un volume di controllo stazionario:

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV + \oint_{CS}\rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA

\mathbf{F}_{\text{net}}. ]

Il primo termine rappresenta l'accumulo di quantità di moto all'interno del volume di controllo. Il secondo rappresenta il flusso netto di quantità di moto convettiva attraverso la superficie di controllo.

Interpretare il flusso di quantità di moto convettiva

Il vettore (\mathbf{n}) è la normale unitaria uscente alla superficie di controllo. La quantità (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}) identifica la componente normale della velocità che attraversa la superficie.

Il fluido che entra nel volume di controllo ha (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}<0), mentre quello che esce ha (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}>0). Questa convenzione sui segni tiene automaticamente conto dei contributi di quantità di moto in ingresso e in uscita.

Per un flusso stazionario unidimensionale con profili di velocità uniformi, il bilancio si riduce spesso a:

[ \sum\mathbf{F}

\sum_{\text{out}}\dot{m}\mathbf{v}

\sum_{\text{in}}\dot{m}\mathbf{v}. ]

Come differiscono le forze di volume e di superficie

Le forze di volume agiscono in tutto il volume del fluido

Una forza di volume agisce direttamente sulla massa del fluido in tutto il volume di controllo. Non richiede un contatto fisico con un confine.

Il contributo generale della forza di volume è:

[ \mathbf{F}_V

\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV, ]

dove (\mathbf{b}) è la forza di volume per unità di massa.

L'esempio dominante nella maggior parte delle operazioni unitarie di flusso dei fluidi è la gravità:

[ \mathbf{F}_V

\int_{CV}\rho\mathbf{g},dV. ]

Per densità costante e un campo gravitazionale uniforme, questo diventa:

[ \mathbf{F}_V

\rho\mathbf{g}V_{CV}. ]

La gravità è importante nei calcoli della pressione idrostatica, nelle tubazioni verticali, nei serbatoi, nelle colonne e nei sistemi che comportano variazioni di elevazione.

Le forze di superficie agiscono attraverso il confine

Una forza di superficie agisce sul fluido attraverso la superficie di controllo. Queste forze derivano dal fluido circostante, dalle pareti solide, dalle pompe, dalle valvole e da altre superfici di contatto.

L'espressione generale è:

[ \mathbf{F}_S

\oint_{CS}\mathbf{s}(\mathbf{n}),dA

\oint_{CS}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n},dA, ]

dove (\mathbf{s}(\mathbf{n})) è il vettore di trazione superficiale e (\boldsymbol{\sigma}) è il tensore degli sforzi.

Le forze di superficie hanno due componenti principali:

[ \boldsymbol{\sigma}

-p\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau}. ]

Il termine (-p\mathbf{I}) rappresenta lo sforzo di pressione isotropa. Il tensore (\boldsymbol{\tau}) rappresenta lo sforzo viscoso o deviatorico causato dai gradienti di velocità.

Le forze di pressione agiscono normalmente

La pressione agisce perpendicolarmente alla superficie. Il suo contributo è:

[ \mathbf{F}_p

-\oint_{CS}p\mathbf{n},dA. ]

Il segno negativo deriva dalla convenzione della normale uscente: la pressione esercitata sul fluido punta verso l'interno rispetto alla superficie circostante.

Le forze di pressione sono centrali per i bilanci di quantità di moto attraverso riduttori, ugelli, curve, pompe e raccordi per tubi. La loro risultante può produrre spinta, forze di reazione o relazioni di caduta di pressione.

Le forze viscose agiscono tangenzialmente

Lo sforzo di taglio viscoso agisce principalmente tangenzialmente a una parete o a un'interfaccia fluida. In una parete solida, è associato al gradiente di velocità vicino al confine.

Il contributo viscoso è rappresentato da:

[ \mathbf{F}_{\tau}

\oint_{CS}\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{n},dA. ]

Nel flusso interno, il taglio alla parete produce perdite di pressione per attrito. Queste perdite influenzano il dimensionamento delle pompe, la potenza operativa e le prestazioni idrauliche delle reti di tubazioni.

Il bilancio completo delle forze nel volume di controllo

Combinando i termini di trasporto della quantità di moto con le forze di volume e di superficie si ottiene:

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV + \oint_{CS}\rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA

\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV

\oint_{CS}p\mathbf{n},dA + \oint_{CS}\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{n},dA. ]

Questa equazione si applica indipendentemente in ogni direzione coordinata. Ad esempio, una curva di tubo orizzontale viene comunemente analizzata utilizzando le componenti (x) e (y) per determinare la forza di supporto o di ancoraggio richiesta.

Semplificazione allo stato stazionario

In condizioni di stato stazionario, l'accumulo di quantità di moto svanisce:

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV=0. ]

L'equazione afferma quindi che il flusso netto di quantità di moto che lascia il volume di controllo è uguale alla somma delle forze di volume e di superficie.

Questa forma è particolarmente utile per analizzare il flusso stazionario nei tubi, le stazioni di pompaggio, le valvole, i gomiti e i sistemi di alimentazione dei reattori.

Forma unidimensionale di ingresso e uscita

Per ingressi e uscite discreti, il bilancio della quantità di moto può essere scritto come:

[ \sum\mathbf{F}

\sum_{\text{out}}\dot{m}\mathbf{v}_{\text{out}}

\sum_{\text{in}}\dot{m}\mathbf{v}_{\text{in}}. ]

La portata massica è:

[ \dot{m}=\rho A v, ]

per un flusso uniforme con area della sezione trasversale (A) e velocità (v).

Questa forma ingegneristica è conveniente quando le velocità di ingresso e uscita sono note o possono essere stimate dalla continuità.

Perché la distinzione è importante nelle operazioni unitarie

Prevedere cadute di pressione e perdite per attrito

Le forze di pressione e le forze di taglio alla parete devono essere distinte quando si calcolano le variazioni di pressione attraverso tubi e apparecchiature. Le differenze di pressione forniscono forze motrici, mentre il taglio viscoso spiega le perdite per attrito irreversibili.

Questi risultati supportano la selezione delle pompe e la valutazione dei limiti operativi nei sistemi su scala pilota.

Valutare le forze sulle apparecchiature e sulle tubazioni

Il flusso di quantità di moto può cambiare direzione anche quando la sua grandezza rimane costante. Un gomito di tubo subisce quindi una forza di reazione perché il vettore della quantità di moto del fluido cambia.

Un bilancio del volume di controllo fornisce la forza che agisce sul fluido; la forza uguale e contraria determina il carico trasmesso al raccordo, al supporto o all'apparecchiatura.

Tenere conto degli effetti di elevazione e idrostatici

Le forze di volume diventano significative quando il volume di controllo ha una notevole estensione verticale o quando il fluido è statico o si muove lentamente. La gravità contribuisce quindi alla distribuzione della pressione e alla prevalenza idrostatica.

Nelle colonne verticali e nei serbatoi, omettere il termine della forza di volume può produrre una previsione errata della pressione o della forza.

Comprendere i compromessi

I bilanci integrali richiedono una media appropriata

L'equazione del volume di controllo è esatta, ma i calcoli pratici utilizzano spesso velocità medie, profili uniformi e distribuzioni di pressione semplificate. Queste approssimazioni possono essere inadeguate laddove il flusso è fortemente in via di sviluppo, turbolento, separato o multifase.

Potrebbero essere necessari fattori di correzione del profilo di velocità quando la distribuzione della velocità è tutt'altro che uniforme.

Pressione e taglio non possono essere scambiati

La pressione è uno sforzo normale, mentre il taglio viscoso è uno sforzo tangenziale. Trattare tutte le forze di superficie come forze di pressione può dare una forza risultante errata e sottostimare le perdite per attrito.

Al contrario, includere il taglio alla parete dove è trascurabile può aggiungere una complessità non necessaria senza migliorare il risultato.

Il volume di controllo scelto influisce sul calcolo

La superficie di controllo dovrebbe essere posizionata dove pressioni, velocità e portate sono note o possono essere stimate in modo affidabile. Un volume di controllo selezionato male può introdurre forze di parete sconosciute o interfacce non necessarie.

Per le apparecchiature contenenti componenti interni, selezionare i confini attorno all'intero dispositivo può semplificare il bilancio sostituendo le forze interne con una forza esterna netta.

L'analisi della quantità di moto non sostituisce l'analisi energetica

La conservazione della quantità di moto determina le forze e le variazioni della quantità di moto, ma non determina di per sé variazioni di temperatura, trasferimento di calore o perdite di energia meccanica. I bilanci energetici sono necessari per le apparecchiature termiche, la potenza della pompa e l'analisi degli scambiatori di calore.

Nella progettazione completa delle operazioni unitarie, i bilanci di massa, quantità di moto ed energia vengono utilizzati insieme.

Fare la scelta giusta per il tuo obiettivo

Utilizza l'equazione della quantità di moto del volume di controllo identificando il volume di controllo, specificando i flussi di quantità di moto in ingresso e in uscita e valutando ogni contributo di forza di volume e di superficie.

• Se il tuo obiettivo principale è la previsione della caduta di pressione: Includi attentamente i contributi della pressione e del taglio alla parete e utilizza correlazioni appropriate per il profilo di velocità o il fattore di attrito.
• Se il tuo obiettivo principale è la progettazione di pompe e tubazioni: Applica il bilancio stazionario della quantità di moto per determinare le forze di pressione, le reazioni delle apparecchiature e i carichi di supporto.
• Se il tuo obiettivo principale sono i sistemi verticali o idrostatici: Includi il termine della forza di volume (\int_{CV}\rho\mathbf{g},dV) e tieni conto esplicitamente degli effetti di elevazione.
• Se il tuo obiettivo principale è il passaggio alla scala di impianto pilota: Combina i bilanci della quantità di moto con i bilanci di continuità ed energia in modo che la distribuzione del flusso, le perdite di pressione e gli effetti termici siano valutati in modo coerente.

Un volume di controllo ben scelto trasforma la conservazione della quantità di moto del fluido in un collegamento diretto e quantitativo tra il comportamento del flusso e le forze che agiscono sulle apparecchiature di processo.

Tabella riassuntiva:

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