Per i flussi di fluidi viscosi, il bilancio energetico viene formulato separando l'energia totale in contributi termici e meccanici. L'equazione dell'energia totale tiene traccia dell'energia interna, cinetica e potenziale, considerando la conduzione del calore e il lavoro compiuto dalla pressione e dagli sforzi viscosi. Sottraendo il bilancio dell'energia meccanica si evidenziano gli effetti termici della compressione o dell'espansione e la conversione irreversibile dell'energia meccanica in calore attraverso la dissipazione viscosa.

La formulazione governante combina un bilancio dell'energia totale con un bilancio dell'energia meccanica. Per i fluidi viscosi, l'equazione dell'energia interna deve includere la conduzione del calore, gli effetti del lavoro di pressione e il termine di dissipazione viscosa (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}), che può essere importante nelle operazioni ad alta viscosità o con elevati tassi di taglio.

Inizia dal bilancio dell'energia totale

Energia di una particella fluida

L'energia totale specifica sostanziale è

[ e_t = u + \frac{v^2}{2} + gz ]

dove (u) è l'energia interna, (v^2/2) è l'energia cinetica e (gz) è l'energia potenziale.

Per una particella fluida, il bilancio del primo principio può essere scritto come

[ \rho \frac{D e_t}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q} + \nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{v}) + \rho \mathbf{b}\cdot\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

dove (\rho) è la densità, (\mathbf{q}) è il flusso di calore conduttivo, (\boldsymbol{\sigma}) è il tensore degli sforzi totale, (\mathbf{b}) è la forza di volume per unità di massa e (\dot{q}_v) rappresenta qualsiasi sorgente di calore volumetrica.

Conduzione del calore

La legge di Fourier definisce il flusso di calore conduttivo:

[ \mathbf{q}=-k\nabla T ]

Pertanto, il contributo conduttivo al bilancio energetico è

[ -\nabla\cdot\mathbf{q}

\nabla\cdot(k\nabla T) ]

Per una conducibilità termica costante, questo diventa (k\nabla^2T).

In corrispondenza di una parete solida stazionaria, la velocità del fluido sulla parete è nulla secondo la condizione di non scorrimento. Il trasferimento di calore attraverso il contorno è quindi rappresentato dal flusso conduttivo normale alla parete:

[ q_w=-k\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)_w ]

Il gradiente di temperatura della parete determina la velocità locale di trasferimento del calore utilizzata negli scambiatori di calore, negli evaporatori, nelle batterie di raffreddamento e nelle camicie dei reattori.

Lavoro degli sforzi

Il tensore degli sforzi viene comunemente scomposto come

[ \boldsymbol{\sigma}=-P\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

dove (P) è la pressione e (\boldsymbol{\tau}) è il tensore degli sforzi deviatorici, o viscosi.

Il termine del lavoro degli sforzi include sia il lavoro di pressione sia il lavoro degli sforzi viscosi. Questa distinzione è essenziale perché il lavoro di pressione rappresenta principalmente un trasferimento reversibile di energia meccanica, mentre gli sforzi viscosi possono generare irreversibilmente energia termica.

Deriva il bilancio dell'energia termica

Forma dell'energia interna

Dopo aver separato l'energia cinetica e potenziale dall'equazione dell'energia totale e aver utilizzato il bilancio della quantità di moto, l'equazione dell'energia interna è

[ \rho\frac{D u}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q}

P\nabla\cdot\mathbf{v} + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

Qui, (\mathbf{v}) è il campo di velocità e i due punti indicano il doppio prodotto contratto di due tensori.

I termini hanno significati fisici diretti:

• (-\nabla\cdot\mathbf{q}): calore conduttivo netto che entra nell'elemento fluido.
• (-P\nabla\cdot\mathbf{v}): lavoro reversibile pressione-volume.
• (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}): conversione irreversibile dell'energia meccanica in energia interna attraverso la viscosità.
• (\dot{q}_v): generazione volumetrica di calore specificata esternamente.

Forma temperatura-pressione

Per un fluido caratterizzato termodinamicamente, il differenziale dell'energia interna può essere espresso in termini di temperatura e pressione. Una forma utile del bilancio termico è

[ \rho c_p\frac{D T}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q} + \left[ 1- \frac{T}{\rho} \left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_P \right] \frac{D P}{D t} + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

Il coefficiente di pressione esatto dipende dalle variabili termodinamiche e dall'equazione di stato utilizzata. I contributi fisici importanti sono l'effetto termico indotto dalla pressione e la dissipazione viscosa.

Per (k) costante, il termine conduttivo può essere scritto come

[ -\nabla\cdot\mathbf{q}=k\nabla^2T ]

Comprimibilità ed effetti della pressione

Il termine che coinvolge (DP/Dt) descrive il riscaldamento o raffreddamento reversibile associato alla compressione e all'espansione. È particolarmente importante quando la densità cambia in modo apprezzabile, come nei gas, nei liquidi comprimibili, nei transitori rapidi di pressione o nelle apparecchiature fortemente pressurizzate.

Per un liquido incomprimibile con proprietà quasi costanti, questo contributo pressione-temperatura è spesso trascurabile nell'equazione termica. La pressione può comunque essere importante nel bilancio separato dell'energia meccanica.

Considera la dissipazione viscosa

Termine generale di riscaldamento viscoso

Il termine

[ \Phi_v=\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

è la velocità con cui l'energia meccanica viscosa viene convertita in calore per unità di volume.

È non negativo per un fluido newtoniano fisicamente ammissibile e rappresenta il riscaldamento interno irreversibile causato dai gradienti di velocità.

Fluidi newtoniani

Per un fluido newtoniano,

[ \boldsymbol{\tau}

\mu\left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I} ]

dove (\mu) è la viscosità dinamica e (\lambda) è il secondo coefficiente di viscosità.

La funzione di dissipazione è quindi

[ \Phi_v=\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

Per un flusso incomprimibile con viscosità costante, viene comunemente espressa utilizzando il tensore della velocità di deformazione (\mathbf{D}):

[ \Phi_v=2\mu,\mathbf{D}:\mathbf{D} ]

Perché la viscosità è importante nelle operazioni unitarie

Nei flussi a bassa viscosità e basso tasso di taglio, il riscaldamento viscoso può essere ridotto rispetto al calore scambiato attraverso la parete dell'apparecchiatura. Nei polimeri, negli oli pesanti, nei fluidi biologici concentrati e nelle operazioni di miscelazione intensiva, può diventare una fonte interna di calore rilevante.

Di conseguenza, la temperatura del fluido può aumentare anche quando l'apparecchiatura viene raffreddata esternamente. Omettere (\Phi_v) in tali sistemi può portare a errori nella previsione delle temperature di uscita, dei coefficienti di trasferimento del calore, dei tempi di residenza e dei requisiti di potenza frigorifera.

Formula il bilancio dell'energia meccanica

Energia meccanica per unità di massa

Il contenuto di energia meccanica di un fluido in movimento è comunemente rappresentato dai termini di pressione, cinetico e potenziale:

[ \frac{P}{\rho}+\frac{v^2}{2}+gz ]

Per un flusso stazionario attraverso un'operazione unitaria, un bilancio pratico dell'energia meccanica per unità di massa è

[ \frac{P_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} + gz_1 + w_s

\frac{P_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + gz_2 + F ]

dove (w_s) è il lavoro sull'albero fornito al fluido e (F) è la perdita di energia meccanica per unità di massa causata dall'attrito e da altri effetti irreversibili.

Riordinando si ottiene

[ w_s

\frac{P_2-P_1}{\rho} + \frac{v_2^2-v_1^2}{2} + g(z_2-z_1) + F ]

Il segno di (w_s) dipende dalla convenzione utilizzata. L'equazione precedente definisce (w_s) positivo come lavoro fornito al fluido.

Bilancio differenziale della meccanica

Una forma differenziale può essere ricavata dall'equazione della quantità di moto proiettando il lavoro degli sforzi sul campo di velocità. Tiene conto del lavoro del gradiente di pressione, del lavoro delle forze di volume, delle variazioni di energia cinetica, del lavoro sull'albero e delle perdite viscose.

Nei calcoli pratici su impianti pilota, la forma integrata è generalmente più utile perché mette direttamente in relazione il lavoro della pompa o del compressore con l'aumento di pressione, la variazione di velocità, la variazione di quota e la perdita per attrito.

Bilancio meccanico per un flusso incomprimibile

Per un flusso di liquido a densità costante, l'espressione comunemente utilizzata è

[ \frac{\Delta P}{\rho} + \frac{\Delta v^2}{2} + g\Delta z + F

w_s ]

Moltiplicando per la portata massica si ottiene il fabbisogno di potenza sull'albero:

[ \dot W_s

\dot m \left[ \frac{\Delta P}{\rho} + \frac{\Delta v^2}{2} + g\Delta z + F \right] ]

Questa relazione supporta la scelta delle pompe e la previsione delle perdite di pressione attraverso tubazioni, raccordi, scambiatori di calore, filtri, miscelatori e altri moduli.

Collega le perdite meccaniche alla generazione termica

L'attrito non è automaticamente un flusso di calore dalla parete

Il termine di attrito (F) rappresenta la degradazione dell'energia meccanica. Non deve essere inserito automaticamente nel bilancio termico come calore trasferito attraverso la parete.

Una parte dell'energia meccanica persa viene convertita localmente in energia interna attraverso la dissipazione viscosa. La parte restante può essere trasportata dal fluido e infine trasferita alle superfici dell'apparecchiatura o all'ambiente circostante.

Bilanci locali e complessivi

L'equazione termica differenziale utilizza il termine di generazione locale

[ \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

Un bilancio meccanico complessivo utilizza la perdita integrata (F). Queste quantità sono correlate attraverso l'integrazione spaziale, ma non sono intercambiabili senza considerare il campo di flusso e il volume di controllo.

Questa distinzione evita il doppio conteggio del riscaldamento per attrito quando entrambi i bilanci, termico e meccanico, vengono applicati alla stessa operazione unitaria.

Calore e lavoro sono modalità di trasferimento diverse

Il calore attraversa il contorno di un sistema a causa di una differenza di temperatura. Il lavoro attraversa il contorno attraverso forze meccaniche, elettriche, di pressione o sull'albero.

Una pompa o un agitatore fornisce lavoro al processo, mentre una camicia di raffreddamento rimuove calore. Il fatto che il lavoro meccanico possa eventualmente trasformarsi in energia termica non rende il trasferimento originale del lavoro sull'albero un trasferimento di calore.

Comprendi i compromessi

Approssimazioni per fluidi incomprimibili

Per molte operazioni unitarie con liquidi, la densità, la viscosità e la conducibilità termica vengono considerate costanti. Questo semplifica il bilancio termico in

[ \rho c_p\frac{D T}{D t}

k\nabla^2T + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

Questa approssimazione è appropriata solo quando le variazioni di densità e proprietà indotte dalla pressione sono trascurabili nell'intervallo operativo.

Trascurare la dissipazione viscosa

L'eliminazione del termine viscoso riduce l'equazione a un bilancio convenzionale di convezione-conduzione. Ciò è spesso ragionevole per i fluidi a bassa viscosità, ma può essere inappropriato per passaggi stretti, elevate velocità di rotazione, miscelazione intensa o materiali fortemente pseudoplastici.

Il confronto rilevante è tra la generazione di calore viscoso e la rimozione del calore attraverso la parete, non la viscosità considerata isolatamente.

Ipotesi di regime stazionario

In regime stazionario, l'accumulo locale può annullarsi, ma il trasporto convettivo, la conduzione, gli effetti della pressione, la dissipazione viscosa e lo scambio termico possono rimanere significativi.

Il regime stazionario non significa che il bilancio termico sia trascurabile. Significa che il campo di temperatura non cambia più nel tempo in una posizione fissa.

Semplificazioni di tipo bernoulliano

Se le perdite viscose, il lavoro sull'albero, gli effetti termici e la comprimibilità sono trascurabili, il bilancio meccanico si riduce a una relazione di tipo bernoulliano. Ciò è utile per flussi idealizzati, ma generalmente non è sufficiente per dimensionare pompe reali o analizzare apparecchiature ad alta viscosità.

Come applicarlo al tuo progetto

Il bilancio corretto dipende dal fatto che l'obiettivo sia prevedere la temperatura, calcolare il lavoro dell'apparecchiatura o valutare entrambi gli effetti insieme.

• Se il tuo obiettivo principale è la previsione della temperatura: usa l'equazione dell'energia interna o della temperatura con conduzione, convezione, effetti termici indotti dalla pressione quando pertinenti, dissipazione viscosa e generazione volumetrica di calore.
• Se il tuo obiettivo principale è il dimensionamento di una pompa o di un compressore: usa il bilancio dell'energia meccanica con variazione di pressione, variazione di energia cinetica, variazione di quota, perdita per attrito e lavoro sull'albero.
• Se il tuo obiettivo principale è un'operazione ad alta viscosità o ad alto tasso di taglio: mantieni (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}) e valuta se il riscaldamento viscoso modifica in modo significativo il campo di temperatura.
• Se il tuo obiettivo principale è un flusso comprimibile o rapidamente pressurizzato: mantieni il termine termodinamico (DP/Dt) e utilizza un'equazione di stato e un modello delle proprietà coerenti.
• Se il tuo obiettivo principale è il carico complessivo di un'operazione unitaria: combina il bilancio termico locale con il bilancio meccanico integrato evitando il doppio conteggio dell'energia di attrito.

Una formulazione affidabile mantiene il trasporto termico, l'energia meccanica e la loro conversione irreversibile esplicitamente collegati, ma fisicamente distinti.

Tabella riepilogativa:

Devi progettare o valutare un'operazione unitaria per un flusso di fluido viscoso? Contatta LABPARK per impianti pilota didattici e professionali per operazioni unitarie, personalizzati in base alla tua applicazione. LABPARK supporta università, istituti di ricerca e imprese con impianti pilota per l'ingegneria chimica, i bioprocessi e le biotecnologie, nonché per il trattamento ambientale e delle acque. I nostri sistemi aiutano a valutare le prestazioni termiche, il riscaldamento viscoso, le perdite di pressione, i requisiti di pompe e miscelatori e le decisioni di scale-up con apparecchiature pratiche e focalizzate sull'applicazione.