Il metodo analitico consiste nel risolvere il campo di moto di Stokes intorno all’oggetto rotante, calcolare lo sforzo di taglio superficiale e integrare tale sforzo per ottenere la coppia. Per una sfera sommersa di raggio (R) che ruota con velocità angolare (\omega) in un fluido newtoniano di viscosità (\mu), la soluzione a basso numero di Reynolds fornisce la coppia resistente

[ G=-8\pi\mu\omega R^3 ]

dove il segno negativo indica che la coppia idrodinamica si oppone alla rotazione.

Nel flusso viscoso lento, la coppia è determinata interamente dagli sforzi viscosi: si risolvono le equazioni lineari di Stokes con la condizione al contorno della superficie rotante, si valuta lo sforzo tangenziale sulla superficie e se ne integra il momento sull’oggetto.

Perché si applica il metodo del flusso di Stokes

Inerzia del fluido trascurabile

Il metodo si applica quando il numero di Reynolds è sufficientemente basso da consentire di trascurare i termini inerziali rispetto a quelli viscosi. L’equazione della quantità di moto diventa

[ -\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{v}=0, \qquad \nabla\cdot\mathbf{v}=0 ]

Per una sfera rotante in un fluido altrimenti immobile, il flusso è assialsimmetrico e puramente azimutale.

Relazione lineare tra coppia e velocità

Poiché le equazioni di Stokes sono lineari, la coppia è direttamente proporzionale alla velocità angolare. È inoltre proporzionale alla viscosità del fluido e al cubo del raggio della sfera:

[ |G|=8\pi\mu\omega R^3 ]

Questa proporzionalità è l’analogo rotazionale della legge lineare della resistenza per una sfera in traslazione.

Risoluzione del campo di moto rotazionale

Applicare le condizioni al contorno

Si utilizzano coordinate sferiche con la sfera centrata nell’origine. Per una sfera che ruota attorno al proprio asse, le condizioni di velocità sono:

[ v_r=0, \qquad v_\theta=0, \qquad v_\phi(R,\theta)=\omega R\sin\theta ]

L’ultima condizione rappresenta la velocità tangenziale della superficie della sfera. Lontano dalla sfera, il fluido è fermo:

[ v_\phi(r,\theta)\rightarrow 0 \quad \text{per} \quad r\rightarrow\infty ]

Determinare la velocità azimutale

La risoluzione delle equazioni di Stokes soggetta a queste condizioni fornisce

[ v_\phi(r,\theta)

\frac{\omega R^3\sin\theta}{r^2} ]

La velocità diminuisce come (1/r^2), riflettendo la natura localizzata della perturbazione rotazionale nel flusso viscoso lento.

Interpretare la distribuzione del flusso

La velocità del fluido è massima all’equatore della sfera, dove (\sin\theta=1), e si annulla sull’asse di rotazione. L’intero campo di moto è generato dall’accoppiamento viscoso tra la superficie rotante e il fluido circostante.

Calcolo dello sforzo di taglio superficiale

Valutare lo sforzo tangenziale

Per un flusso azimutale assialsimmetrico, la componente dello sforzo rilevante in coordinate sferiche è

[ \tau_{r\phi}

\mu \left( \frac{\partial v_\phi}{\partial r}

\frac{v_\phi}{r} \right) ]

Sostituendo il campo di velocità e valutando in (r=R) si ottiene

[ \tau_{r\phi}(R,\theta)

-3\mu\omega\sin\theta ]

Il segno negativo mostra che lo sforzo del fluido si oppone alla rotazione della sfera.

Considerare il braccio della coppia

Un elemento superficiale all’angolo polare (\theta) ha una distanza perpendicolare dall’asse di rotazione pari a

[ R\sin\theta ]

La coppia differenziale è quindi uguale alla forza tangenziale sull’elemento superficiale moltiplicata per questo braccio del momento.

Integrazione della coppia

Integrare sulla sfera

L’elemento di area superficiale è

[ dA=R^2\sin\theta,d\theta,d\phi ]

Di conseguenza, la coppia totale è

[ G

\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \tau_{r\phi}(R,\theta) (R\sin\theta) R^2\sin\theta ,d\theta,d\phi ]

Sostituendo lo sforzo di taglio si ottiene

[ G

-3\mu\omega R^3 \int_0^{2\pi}d\phi \int_0^\pi\sin^3\theta,d\theta ]

Utilizzando

[ \int_0^{2\pi}d\phi=2\pi, \qquad \int_0^\pi\sin^3\theta,d\theta=\frac{4}{3} ]

si ottiene

[ \boxed{G=-8\pi\mu\omega R^3} ]

La coppia applicata richiesta ha lo stesso modulo e segno opposto:

[ \boxed{G_{\text{applied}}=8\pi\mu\omega R^3} ]

Correlare la coppia alla potenza

La potenza viscosa necessaria per mantenere la rotazione è

[ P=|G|\omega ]

Per la sfera rotante,

[ \boxed{P=8\pi\mu\omega^2R^3} ]

Questo fornisce una stima diretta della potenza meccanica dissipata nel fluido.

Estensione del metodo alle operazioni unitarie

Utilizzare i coefficienti di resistenza rotazionale

Per altri corpi sommersi, la stessa procedura viene espressa tramite un coefficiente di resistenza rotazionale:

[ G=-\zeta_r\omega ]

Per una sfera,

[ \zeta_r=8\pi\mu R^3 ]

Il coefficiente varia in funzione della forma dell’oggetto, del confinamento, della vicinanza alle pareti e della presenza di altre superfici in movimento.

Applicare il quadro teorico agli agitatori

Nelle operazioni unitarie a bassa velocità e alta viscosità, la coppia richiesta da una girante o da un agitatore rotante può essere ottenuta risolvendo il campo di moto viscoso lento oppure determinando un coefficiente di resistenza appropriato. La coppia risultante consente di calcolare lo sforzo di taglio, la dissipazione di potenza e i requisiti del motore.

Distinguere le grandezze locali da quelle totali

La distribuzione dello sforzo descrive il carico fluidodinamico locale sull’intera superficie. La coppia integrata è la grandezza globale necessaria per il dimensionamento delle apparecchiature e per i calcoli di potenza.

Comprendere i compromessi

L’ipotesi di basso numero di Reynolds è restrittiva

Il risultato analitico presuppone che l’inerzia del fluido sia trascurabile. Se il numero di Reynolds non è più basso, l’inerzia convettiva modifica i campi di velocità e di sforzo, e la relazione (G\propto\mu\omega R^3) potrebbe non essere più adeguata.

Il risultato per la sfera non è universale

Il coefficiente (8\pi) si applica specificamente a una sfera isolata che ruota in un fluido newtoniano non confinato. Non deve essere trasferito direttamente a giranti, cilindri, particelle vicine alle pareti o recipienti confinati.

Si assume un comportamento newtoniano

La derivazione presuppone viscosità costante e comportamento costitutivo newtoniano. Soluzioni polimeriche, sospensioni, fluidi biologici e altri materiali non newtoniani possono richiedere un modello dello sforzo modificato e una diversa relazione tra coppia e velocità.

Gli effetti delle pareti possono essere significativi

Le pareti e le superfici vicine modificano il campo di velocità e aumentano la resistenza idrodinamica. Nelle apparecchiature di impianto pilota, il confinamento può quindi richiedere fattori di correzione delle pareti, soluzioni numeriche del flusso di Stokes o calibrazione sperimentale.

Scegliere l’approccio giusto per il proprio obiettivo

La soluzione analitica per la sfera costituisce un riferimento e un primo calcolo pratico, ma è necessario verificare la geometria e il regime di flusso prima di applicarla alle apparecchiature.

Se il tuo obiettivo principale è stimare la coppia per una sfera rotante isolata: usa (G=-8\pi\mu\omega R^3), dove il segno rappresenta la resistenza alla rotazione imposta.
Se il tuo obiettivo principale è dimensionare un agitatore a bassa velocità: determina la resistenza rotazionale specifica della geometria dell’agitatore invece di applicare direttamente il coefficiente della sfera.
Se il tuo obiettivo principale è prevedere lo sforzo di taglio locale: utilizza il campo di velocità e la distribuzione dello sforzo superficiale prima di integrare per ottenere la coppia totale.
Se il tuo obiettivo principale è operare al di fuori del flusso viscoso lento: includi l’inerzia del fluido e utilizza una correlazione appropriata per numeri di Reynolds più elevati, un modello numerico o un esperimento.

Il principio fondamentale è semplice: risolvere il campo di moto viscoso, valutare lo sforzo superficiale e integrare il suo momento per ottenere la coppia idrodinamica.

Tabella riassuntiva:

Aspetto chiave	Risultato o applicazione
Modello governante	Equazioni di Stokes lineari per il flusso viscoso lento
Coppia sulla sfera	`G = -8πμωR³`
Resistenza rotazionale	`ζᵣ = 8πμR³` per una sfera isolata
Potenza richiesta	`P = 8πμω²R³`
Metodo di calcolo	Risolvere il flusso, valutare lo sforzo superficiale e integrare il suo momento
Principali limitazioni	Forma, pareti, inerzia e fluidi non newtoniani richiedono correzioni o modelli diversi

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