Come Viene Calcolata La Resistenza D'attrito Totale Dallo Sforzo Di Taglio Alla Parete E In Che Modo La Crescita Dello Strato Limite Induce La Resistenza Di Forma?

La resistenza d'attrito totale si ottiene integrando lo sforzo di taglio locale alla parete sulla superficie bagnata. Per una superficie piana di lunghezza (L) e larghezza (b), la resistenza d'attrito nella direzione del flusso è

[ D_f=b\int_0^L \tau_w(x),dx, ]

dove lo sforzo di taglio locale alla parete è

[ \tau_w(x)=\mu\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_w. ]

La crescita dello strato limite può anche creare resistenza di forma: man mano che lo strato si ispessisce, il suo effetto di spostamento modifica il campo di pressione esterno e il distacco può produrre una differenza di pressione tra i lati a monte e a valle del corpo.

La resistenza d'attrito deriva dallo sforzo viscoso alla parete e si trova integrando (\tau_w) sull'area bagnata. La resistenza di forma è una forza di pressione causata dallo spostamento del flusso esterno da parte dello strato limite, specialmente quando uno strato limite spesso si distacca.

Calcolo della resistenza d'attrito dallo sforzo di taglio alla parete

Lo sforzo di taglio locale alla parete

Per un fluido newtoniano, lo sforzo di taglio alla parete è determinato dal gradiente di velocità normale alla parete:

[ \tau_w(x)=\mu\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_w. ]

Qui, (\mu) è la viscosità dinamica, (u) è la velocità nella direzione del flusso e (y) è la coordinata perpendicolare alla superficie.

La condizione di non scivolamento rende la velocità del fluido nulla alla parete. La velocità deve quindi aumentare da zero fino alla velocità del flusso esterno attraverso lo strato limite, producendo il gradiente responsabile dello sforzo viscoso.

Integrazione lungo una superficie piana

Per una superficie con larghezza costante (b), la forza d'attrito differenziale è

[ dD_f=\tau_w(x)b,dx. ]

L'integrazione dal bordo d'attacco al bordo d'uscita fornisce

[ D_f=b\int_0^L\tau_w(x),dx. ]

Per una superficie con larghezza variabile o una forma tridimensionale, l'espressione più generale è

[ D_f=\int_A \tau_w,dA ]

utilizzando la componente della forza di taglio locale nella direzione del flusso.

Perché il bordo d'attacco è importante

In uno strato limite laminare, lo strato è più sottile vicino al bordo d'attacco. Il gradiente di velocità alla parete è quindi più ripido in quel punto, per cui (\tau_w) è massimo.

Per il flusso laminare su una lastra piana,

[ \tau_w(x)=0.332\mu U_\infty \sqrt{\frac{U_\infty}{\nu x}}, ]

dove (U_\infty) è la velocità della corrente indisturbata e (\nu) è la viscosità cinematica.

Poiché questa relazione varia come (x^{-1/2}), lo sforzo di taglio locale diminuisce verso valle anche se la resistenza totale continua ad accumularsi.

Risultato per lastra piana laminare

L'integrazione della distribuzione dello sforzo di taglio alla parete di Blasius produce il coefficiente di resistenza medio

[ C_D=\frac{1.328}{\sqrt{Re_L}}, ]

dove

[ Re_L=\frac{U_\infty L}{\nu}. ]

La resistenza totale corrispondente è

[ D_f=\frac{1}{2}\rho U_\infty^2(bL)C_D. ]

Questo risultato si applica a uno strato limite laminare su una lastra piana liscia senza effetti significativi del gradiente di pressione. La transizione alla turbolenza aumenta generalmente la resistenza d'attrito superficiale oltre la previsione laminare.

Come la crescita dello strato limite modifica il flusso esterno

L'effetto di spostamento

Lo strato limite non aggiunge semplicemente attrito alla parete. Fa anche sì che il flusso esterno si comporti come se la superficie solida fosse più spessa della sua forma geometrica.

Ciò accade perché il fluido a bassa quantità di moto all'interno dello strato limite trasporta meno quantità di moto nella direzione del flusso rispetto al fluido ideale del flusso esterno. Le linee di corrente esterne vengono spostate lontano dalla parete di una quantità correlata allo spessore di spostamento.

Ridistribuzione della pressione

Man mano che lo strato limite cresce verso valle, il suo effetto di spostamento modifica la distribuzione di velocità e pressione nel flusso esterno.

Per uno strato limite sottile e aderente su una lastra piana con velocità esterna quasi uniforme, questo effetto di pressione è piccolo e la resistenza è principalmente resistenza d'attrito. Per un corpo con curvatura o un gradiente di pressione avverso, tuttavia, il campo di pressione modificato può diventare una fonte importante di resistenza.

Distacco e formazione della scia

Un gradiente di pressione avverso si verifica quando la pressione esterna aumenta nella direzione del flusso. Lo strato limite deve muoversi contro questa pressione crescente pur contenendo già fluido a bassa quantità di moto vicino alla parete.

Se il flusso vicino alla parete perde abbastanza quantità di moto, lo sforzo di taglio alla parete diminuisce fino a zero e può quindi invertire il segno. Lo strato limite si distacca dalla superficie, creando una scia con pressione media inferiore dietro il corpo.

L'origine della resistenza di forma

La pressione sulla faccia a monte di un corpo è quindi maggiore della pressione sulla faccia a valle. La forza di pressione risultante nella direzione del flusso è chiamata resistenza di forma, resistenza di pressione o resistenza di profilo.

Pertanto, la crescita dello strato limite induce la resistenza di forma attraverso questa sequenza:

Lo strato limite si ispessisce verso valle.
Il fluido a bassa quantità di moto aumenta l'effetto di spostamento.
Un gradiente di pressione avverso indebolisce il flusso vicino alla parete.
Lo strato limite si distacca.
Si forma una scia a bassa pressione dietro il corpo.
La differenza di pressione tra monte e valle produce la resistenza di forma.

La resistenza di forma non si ottiene quindi integrando lo sforzo di taglio alla parete. Deve essere calcolata dalla distribuzione di pressione sulla superficie del corpo:

[ D_p=-\int_A p,\mathbf{n}\cdot\mathbf{i},dA, ]

dove (p) è la pressione, (\mathbf{n}) è la normale alla superficie rivolta verso l'esterno e (\mathbf{i}) è il vettore unitario nella direzione del flusso.

La resistenza totale è comunemente scritta come

[ D_{\text{total}}=D_f+D_p, ]

con eventuali componenti aggiuntive, come la resistenza indotta o d'onda, incluse dove pertinente.

Applicazione del calcolo negli impianti pilota

Misurazioni dell'attrito superficiale

Un impianto pilota può fornire misurazioni di velocità locale, dati di pressione o misurazioni dirette della forza. Se il profilo di velocità vicino alla parete è noto, il gradiente alla parete può essere stimato e convertito in sforzo di taglio utilizzando

[ \tau_w=\mu\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_w. ]

Una risoluzione accurata vicino alla parete è essenziale perché la derivata viene valutata alla parete, dove la velocità cambia rapidamente.

Differenziazione numerica vicino alla parete

Una semplice differenza finita a un punto può produrre un errore sostanziale al contorno. Le formule a più punti che utilizzano diversi valori di velocità interni forniscono generalmente una stima più affidabile del gradiente alla parete.

Per superfici curve o flussi con un gradiente di pressione rilevante, la derivata dovrebbe essere valutata in un sistema di coordinate normale alla parete. Gli effetti del gradiente di pressione non dovrebbero essere dedotti solo da una correlazione per lastra piana.

Condotti e apparecchiature per operazioni unitarie

Nei condotti, tubi, scambiatori di calore e altre apparecchiature di impianti pilota, lo sforzo di taglio alla parete contribuisce direttamente alla perdita di pressione e alla potenza di pompaggio.

Per il flusso interno completamente sviluppato, la resistenza d'attrito è rappresentata dallo sforzo di taglio alla parete che agisce lungo il perimetro bagnato. Espansioni locali, contrazioni, curve, raccordi, ingressi e uscite introducono perdite di pressione aggiuntive che sono spesso trattate come perdite di forma o perdite minori.

Questi contributi dovrebbero essere separati concettualmente:

La perdita per attrito distribuito deriva dallo sforzo di taglio alla parete lungo il percorso del flusso.
La perdita di forma o minore deriva da cambiamenti di geometria, distacco, ricircolo e recupero di pressione.

Comprendere i compromessi

Flusso laminare contro turbolento

Il flusso laminare produce generalmente un attrito superficiale inferiore su una superficie liscia, ma ha uno scambio di quantità di moto limitato tra la parete e il flusso esterno.

Il flusso turbolento produce uno sforzo di taglio alla parete maggiore perché la miscelazione trasporta fluido a maggiore quantità di moto verso la parete. Anche il suo strato limite cresce più rapidamente; una relazione rappresentativa per lastra piana turbolenta è

[ \delta=0.370\left(\frac{\nu x^4}{U_\infty}\right)^{1/5}, ]

che corrisponde a una crescita di circa (x^{4/5}), rispetto a (x^{1/2}) per uno strato limite laminare.

Riduzione dell'attrito contro resistenza al distacco

L'aspirazione dello strato limite rimuove il fluido a bassa quantità di moto vicino alla parete. Questo può assottigliare lo strato limite, ritardare la transizione o il distacco e ridurre l'attrito in condizioni operative idonee.

Tuttavia, l'aspirazione richiede apparecchiature, controllo ed energia aggiuntivi. Il suo beneficio deve quindi essere valutato rispetto ai costi energetici e di manutenzione del sistema di aspirazione.

Correlazioni contro misurazioni dirette

Le correlazioni per lastra piana sono utili per stimare la resistenza durante lo scale-up, ma presuppongono una geometria e condizioni di flusso specifiche.

Possono diventare inaffidabili quando l'impianto pilota presenta curvature significative, rugosità, gradienti di pressione, contaminazione superficiale, forti effetti tridimensionali o distacco del flusso. In quei casi, i dati di pressione e sforzo misurati forniscono una stima della resistenza più difendibile.

Sforzo di taglio locale contro resistenza totale

Un valore locale elevato di (\tau_w) non determina di per sé la resistenza totale. Lo sforzo deve essere integrato sull'intera area bagnata e la sua direzione deve essere proiettata sulla direzione del flusso.

Allo stesso modo, un piccolo sforzo di taglio alla parete dopo il distacco non implica una bassa resistenza totale. Una scia distaccata può generare una resistenza di pressione sostanziale anche quando l'attrito superficiale locale è debole o invertito.

Fare la scelta giusta per il proprio obiettivo

Utilizzare il metodo di calcolo che corrisponde alla domanda fisica e alla geometria dell'impianto pilota.

Se l'obiettivo principale è la resistenza d'attrito alla parete: Misurare o modellare il gradiente di velocità vicino alla parete, calcolare (\tau_w=\mu(\partial u/\partial y)_w) e integrarlo sulla superficie bagnata.
Se l'obiettivo principale è la resistenza esterna totale: Combinare la forza di taglio alla parete integrata con la forza di pressione ottenuta dalla distribuzione di pressione superficiale.
Se l'obiettivo principale è la perdita di pressione nei condotti: Separare le perdite per attrito alla parete distribuite dalle perdite locali causate da raccordi, espansioni, contrazioni, curve, ingressi e uscite.
Se l'obiettivo principale è il controllo dello strato limite: Valutare se l'aspirazione o un altro metodo di controllo riduce il distacco e la resistenza di forma abbastanza da giustificare i requisiti aggiuntivi di apparecchiature ed energia.

Una previsione accurata della resistenza deriva dal trattare lo sforzo di taglio alla parete, la ridistribuzione della pressione e il distacco come parti collegate ma distinte del problema di flusso.

Tabella riassuntiva:

Argomento	Principio chiave	Calcolo o risultato
Sforzo di taglio alla parete	Sforzo viscoso alla parete	(\tau_w=\mu(\partial u/\partial y)_w)
Resistenza d'attrito su superficie piana	Integrare lo sforzo locale sull'area bagnata	(D_f=b\int_0^L\tau_w(x),dx)
Resistenza d'attrito generale	Includere la componente dello sforzo nella direzione del flusso	(D_f=\int_A\tau_w,dA)
Lastra piana laminare	Lo sforzo locale è massimo vicino al bordo d'attacco	(C_D=1.328/\sqrt{Re_L})
Crescita dello strato limite	Il fluido a bassa quantità di moto sposta il flusso esterno	Altera il campo di pressione esterno
Distacco del flusso	I gradienti di pressione avversi possono invertire il flusso vicino alla parete	Crea una scia a bassa pressione
Resistenza di forma	Differenza di pressione tra superfici a monte e a valle	(D_p=-\int_A p,\mathbf{n}\cdot\mathbf{i},dA)
Resistenza totale	Combinare i contributi di sforzo e pressione	(D_{total}=D_f+D_p)
Flusso interno in impianto pilota	Separare l'attrito distribuito dalle perdite locali	Considerare pareti, curve, raccordi, espansioni e contrazioni

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