Per il flusso strisciante attorno a una particella sferica, la resistenza idrodinamica totale è data dalla legge di Stokes, (F_D = 6\pi \mu R U), dove (\mu) è la viscosità del fluido, (R) è il raggio della particella e (U) è la velocità relativa tra la particella e il fluido. La forza totale si ottiene integrando la trazione del fluido sull'intera superficie sferica. Le forze di pressione contribuiscono per un terzo, (F_{D,p}=2\pi\mu R U), mentre le forze di taglio viscoso contribuiscono per due terzi, (F_{D,\tau}=4\pi\mu R U).

Nel flusso strisciante, la resistenza della sfera è lineare rispetto alla viscosità, alla dimensione della particella e alla velocità relativa. Sebbene l'inerzia sia trascurabile, il campo di pressione circostante contribuisce comunque per un terzo alla resistenza; il taglio superficiale contribuisce per i restanti due terzi.

Definizione del regime di flusso strisciante

Il numero di Reynolds rilevante

Il flusso strisciante si verifica quando il numero di Reynolds della particella è molto inferiore a uno:

[ Re_p=\frac{\rho U d}{\mu}\ll 1 ]

dove (\rho) è la densità del fluido e (d=2R) è il diametro della particella.

A numeri di Reynolds così bassi, gli effetti inerziali sono trascurabili rispetto agli effetti viscosi. Il flusso è governato principalmente dall'equilibrio tra i gradienti di pressione e le tensioni viscose.

Il significato della velocità relativa

La velocità (U) nella legge di Stokes è la velocità relativa tra la particella e il fluido circostante. Per una particella ferma in un fluido in movimento, (U) è la velocità locale del fluido relativa alla particella.

Per una particella in sedimentazione, (U) è la velocità della particella relativa al fluido, spesso valutata alla velocità terminale, quando la forza netta è nulla.

Calcolo della resistenza idrodinamica totale

Legge di Stokes

Il modulo della resistenza totale su una sfera è

[ F_D=6\pi\mu R U ]

Utilizzando il diametro invece del raggio si ottiene la forma equivalente

[ F_D=3\pi\mu d U ]

La resistenza agisce in direzione opposta al moto relativo della particella attraverso il fluido.

Integrazione delle forze superficiali

La forza sulla particella deriva dalla trazione del fluido che agisce sulla sua superficie. Questa trazione ha due componenti:

[ \text{trazione superficiale}= \text{trazione normale di pressione} + \text{trazione viscosa tangenziale} ]

Integrando entrambe le componenti sulla superficie sferica si ottiene

[ F_D=F_{D,p}+F_{D,\tau} ]

Per una sfera in flusso strisciante,

[ F_{D,p}=2\pi\mu R U ]

[ F_{D,\tau}=4\pi\mu R U ]

Pertanto,

[ F_D

2\pi\mu R U+4\pi\mu R U

6\pi\mu R U ]

Contributi relativi di pressione e taglio

Contributo della pressione

La distribuzione della pressione attorno alla sfera produce

[ F_{D,p}=2\pi\mu R U ]

Rispetto alla resistenza totale,

[ \frac{F_{D,p}}{F_D}

\frac{2\pi\mu R U}{6\pi\mu R U}

\frac{1}{3} ]

Di conseguenza, la pressione rappresenta circa il 33,3% della resistenza totale.

Questo campo di pressione non costituisce un effetto di resistenza di forma inerziale nel senso usuale dei numeri di Reynolds elevati. Anche se l'inerzia è trascurabile, il flusso viscoso attorno alla sfera richiede un gradiente di pressione, e tale distribuzione della pressione produce una componente netta della forza nella direzione opposta al moto.

Contributo della tensione di taglio

Le tensioni viscose tangenziali sulla superficie della particella producono

[ F_{D,\tau}=4\pi\mu R U ]

La loro frazione della resistenza totale è

[ \frac{F_{D,\tau}}{F_D}

\frac{4\pi\mu R U}{6\pi\mu R U}

\frac{2}{3} ]

Pertanto, il taglio viscoso rappresenta circa il 66,7% della resistenza totale.

Questo contributo maggiore riflette la condizione di non slittamento sulla superficie della particella. La velocità del fluido varia rapidamente dalla velocità della superficie della particella a quella del flusso circostante, creando gradienti di velocità e tensioni di taglio tangenziali sulla parete.

La suddivisione un terzo - due terzi

La scomposizione della forza può essere riassunta come segue

[ F_D

\underbrace{2\pi\mu R U}{\text{pressione: }1/3} + \underbrace{4\pi\mu R U}{\text{taglio: }2/3} ]

Il rapporto tra la resistenza dovuta alla pressione e quella dovuta al taglio è quindi

[ F_{D,p}:F_{D,\tau}=1:2 ]

Questa distinzione è utile nell'insegnamento delle apparecchiature, poiché i sensori di pressione e le misure di forza possono riflettere parti diverse della stessa interazione idrodinamica.

Relazione del risultato con le apparecchiature per le operazioni unitarie

Sedimentazione e chiarificazione

Negli esperimenti di sedimentazione, la legge di Stokes viene utilizzata per mettere in relazione la dimensione delle particelle, la viscosità del fluido e la velocità di sedimentazione. Alla velocità terminale di sedimentazione, la resistenza bilancia il peso efficace della particella:

[ F_D=F_g-F_b ]

dove (F_g) è il peso della particella e (F_b) è la spinta di Archimede.

Il calcolo della resistenza aiuta gli studenti ad analizzare l'efficienza della sedimentazione, il tempo di permanenza e le prestazioni dei chiarificatori o delle colonne di separazione.

Misure della pressione differenziale

Le apparecchiature pilota possono misurare le differenze di pressione attraverso canali di flusso, sezioni riempite o dispositivi di separazione. Queste misure rappresentano le forze di pressione associate alla quantità di moto del fluido e alla resistenza viscosa attraverso l'apparecchiatura, non necessariamente la componente di pressione della resistenza su una singola sfera isolata.

Di conseguenza, una perdita di pressione misurata non deve essere automaticamente interpretata come il contributo della pressione pari a un terzo previsto dalla legge di Stokes. La geometria della misurazione e il volume di controllo determinano quali forze vengono registrate.

Misure della tensione di taglio

La tensione di taglio sulla parete è correlata al gradiente locale di velocità da

[ \tau_w

-\mu \left(\frac{\partial u_x}{\partial y}\right)_{y=0} ]

Questa relazione illustra lo stesso principio fisico responsabile del contributo di taglio della sfera: la forza viscosa deriva dai gradienti di velocità su una superficie.

Le correlazioni per piastre piane, come le relazioni di attrito per lo strato limite laminare, sono utili per gli esperimenti sui flussi in canali e sulle pareti. Non devono essere sostituite direttamente al risultato per le particelle sferiche, poiché la geometria e il campo di velocità sono diversi.

Comprendere i compromessi

La legge di Stokes ha un intervallo limitato di numeri di Reynolds

La relazione (6\pi\mu R U) è valida quando (Re_p\ll 1). All'aumentare del numero di Reynolds, l'inerzia diventa importante e la resistenza non è più strettamente proporzionale alla velocità.

A numeri di Reynolds più elevati, la formazione della scia, la separazione del flusso e la resistenza di pressione inerziale possono modificare sostanzialmente sia la resistenza totale sia la distribuzione tra pressione e taglio.

La forma delle particelle è importante

La suddivisione in un terzo dovuto alla pressione e due terzi dovuti al taglio si applica a una sfera ideale, liscia e rigida immersa in un fluido newtoniano altrimenti illimitato. Particelle irregolari, fibre, gocce e particelle biologiche possono avere coefficienti di resistenza e distribuzioni delle tensioni differenti.

In prossimità di una parete, all'interno di un canale stretto o tra particelle adiacenti, i confini circostanti modificano il flusso e aumentano o alterano in altro modo la resistenza.

Le proprietà del fluido devono essere applicate in modo coerente

La viscosità (\mu) deve essere valutata alle condizioni rilevanti di temperatura e composizione. Per i fluidi non newtoniani, un calcolo della legge di Stokes basato su un'unica viscosità costante potrebbe non rappresentare accuratamente il campo delle tensioni alla scala della particella.

Il fluido deve inoltre essere sufficientemente continuo alla scala della particella affinché sia applicabile la meccanica del continuo. Particelle molto piccole in regimi rarefatti o microscalari possono richiedere correzioni oltre il risultato classico.

Pressione e taglio non sono sistemi di flusso indipendenti

La pressione e il taglio vengono separati matematicamente per identificare i rispettivi contributi alla forza integrata. Fisicamente, sono componenti accoppiate della stessa soluzione di flusso attorno alla sfera.

La distribuzione della pressione e i gradienti di velocità superficiali devono quindi essere ricavati dal campo completo del flusso strisciante, anziché essere stimati indipendentemente utilizzando correlazioni non correlate delle apparecchiature.

Applicazione al tuo progetto

Utilizza il seguente approccio nell'analisi di un esperimento con particelle sferiche:

Se il tuo obiettivo principale è la resistenza totale della particella: Calcola (F_D=6\pi\mu R U) utilizzando la viscosità del fluido, il raggio della particella e la velocità relativa tra particella e fluido.
Se il tuo obiettivo principale è il contributo della forza di pressione: Utilizza (F_{D,p}=2\pi\mu R U=F_D/3), riconoscendo che si tratta di un contributo della pressione in un flusso viscoso, non della resistenza di forma inerziale tipica degli elevati numeri di Reynolds.
Se il tuo obiettivo principale è il contributo dell'attrito superficiale: Utilizza (F_{D,\tau}=4\pi\mu R U=2F_D/3), che rappresenta la tensione di taglio tangenziale integrata sulla superficie della particella.
Se il tuo obiettivo principale è convalidare un esperimento su impianto pilota: Verifica che (Re_p\ll1), distingui la resistenza alla scala della particella dalla perdita di pressione alla scala dell'apparecchiatura e considera le pareti, le particelle adiacenti e il comportamento non newtoniano.

Per una sfera ideale in flusso strisciante, il risultato fondamentale è chiaro: un terzo della resistenza idrodinamica deriva dalle forze di pressione e due terzi dalle tensioni di taglio viscose.

Tabella riassuntiva:

Aspetto principale	Risultato
Regime di flusso	Flusso strisciante, in cui il numero di Reynolds della particella (Re_p \ll 1)
Resistenza totale	(F_D = 6\pi\mu R U)
Contributo della pressione	(F_{D,p} = 2\pi\mu R U), ovvero 1/3 (33,3%)
Contributo del taglio	(F_{D,\tau} = 4\pi\mu R U), ovvero 2/3 (66,7%)
Rapporto tra i contributi	Pressione : taglio = 1 : 2
Applicazioni principali	Sedimentazione, chiarificazione, sedimentazione delle particelle ed esperimenti didattici di idrodinamica

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