Le funzioni di trasferimento si ottengono linearizzando il bilancio energetico transitorio del serbatoio riscaldato attorno a un punto operativo stazionario. Per un serbatoio perfettamente miscelato con massa liquida costante, temperatura di ingresso (T_i), temperatura del vapore (T_{st}), portata (F), area di scambio termico (A) e coefficiente di scambio termico globale (U), il modello risultante è del primo ordine. Esso produce funzioni di trasferimento separate dalla temperatura del fluido in ingresso e dalla temperatura del vapore alla temperatura del serbatoio.
La temperatura del serbatoio risponde a entrambi i disturbi attraverso le stesse dinamiche di accumulo termico e rimozione di calore. Il percorso della temperatura di ingresso è governato dalla sostituzione del fluido, mentre il percorso della temperatura del vapore è governato dalla capacità di scambio termico della serpentina (UA).
Iniziare con il bilancio energetico in regime transitorio
Definire le ipotesi sul serbatoio e sul flusso
Si assuma che il serbatoio sia perfettamente agitato, in modo che la temperatura di uscita sia uguale alla temperatura del serbatoio (T). Si assumano inoltre volume del liquido, densità, capacità termica, portata e proprietà di scambio termico costanti.
Il serbatoio contiene una massa di liquido (M) e il fluido di processo ha una capacità termica (C_p). Il calore entra attraverso la serpentina di vapore secondo la formula
[ Q = UA(T_{st}-T) ]
dove (U) è il coefficiente di scambio termico globale e (A) è l'area di scambio termico efficace.
Scrivere il termine di accumulo
L'energia termica immagazzinata nel serbatoio varia al ritmo di
[ MC_p\frac{dT}{dt} ]
Questo termine rappresenta il comportamento dinamico: una massa di liquido o una capacità termica maggiore richiede più energia per modificare la temperatura del serbatoio.
Scrivere i termini di flusso e riscaldamento
L'energia netta che entra attraverso il flusso di processo è
[ FC_p(T_i-T) ]
La prima parte, (FC_pT_i), rappresenta l'energia che entra con l'alimentazione. La seconda parte, (FC_pT), rappresenta l'energia che esce con l'uscita perfettamente miscelata.
Aggiungendo il carico della serpentina di vapore si ottiene il bilancio completo:
[ MC_p\frac{dT}{dt}
FC_p(T_i-T)+UA(T_{st}-T) ]
Riorganizzare il modello dinamico
Espandere i termini di scambio termico
Espandendo il lato destro si ottiene
[ MC_p\frac{dT}{dt}
FC_pT_i-FC_pT+UAT_{st}-UAT ]
Raggruppando i termini della temperatura del serbatoio si ottiene
[ MC_p\frac{dT}{dt}+(FC_p+UA)T
FC_pT_i+UAT_{st} ]
Normalizzare l'equazione
Dividendo per (MC_p) si ottiene
[ \frac{dT}{dt} + \left( \frac{F}{M}+\frac{UA}{MC_p} \right)T
\frac{F}{M}T_i + \frac{UA}{MC_p}T_{st} ]
Definiamo
[ a=\frac{F}{M}+\frac{UA}{MC_p} ]
[ b_i=\frac{F}{M} ]
[ b_{st}=\frac{UA}{MC_p} ]
Il modello diventa
[ \frac{dT}{dt}+aT=b_iT_i+b_{st}T_{st} ]
Il coefficiente (a) determina la velocità con cui il serbatoio raggiunge un nuovo equilibrio. Il suo reciproco,
[ \tau=\frac{1}{a}
\frac{MC_p}{FC_p+UA} ]
è la costante di tempo termica efficace.
Convertire in variabili di deviazione
Definire il punto operativo stazionario
Siano i valori iniziali di stato stazionario (T_s), (T_{i,s}) e (T_{st,s}). In stato stazionario,
[ \frac{dT}{dt}=0 ]
quindi il bilancio in stato stazionario è
[ aT_s=b_iT_{i,s}+b_{st}T_{st,s} ]
Questo punto operativo è il riferimento utilizzato per studiare i disturbi.
Definire le deviazioni di temperatura
Definiamo le variabili di deviazione come
[ T'=T-T_s ]
[ T_i'=T_i-T_{i,s} ]
[ T_{st}'=T_{st}-T_{st,s} ]
Poiché si assume che i parametri del sistema siano costanti, sottraendo l'equazione di stato stazionario dall'equazione dinamica si ottiene
[ \frac{dT'}{dt}+aT'
b_iT_i'+b_{st}T_{st}' ]
Questo passaggio rimuove i termini costanti del punto operativo e lascia solo la risposta alle variazioni dei due ingressi.
Applicare la trasformata di Laplace
Trasformare l'equazione differenziale
Si assuma una deviazione iniziale nulla, il che significa che il serbatoio inizia alla sua temperatura di stato stazionario. Applicando la trasformata di Laplace si ottiene
[ sT'(s)+aT'(s)
b_iT_i'(s)+b_{st}T_{st}'(s) ]
Fattorizzando la trasformata della temperatura del serbatoio si ottiene
[ (s+a)T'(s)
b_iT_i'(s)+b_{st}T_{st}'(s) ]
Pertanto,
[ T'(s)
\frac{b_i}{s+a}T_i'(s) + \frac{b_{st}}{s+a}T_{st}'(s) ]
Identificare le due funzioni di trasferimento
La funzione di trasferimento dalla temperatura del fluido in ingresso alla temperatura del serbatoio è
[ G_i(s)
\frac{T'(s)}{T_i'(s)}
\frac{b_i}{s+a}
\frac{F/M}{s+F/M+UA/(MC_p)} ]
con la deviazione della temperatura del vapore mantenuta a zero.
La funzione di trasferimento dalla temperatura del vapore alla temperatura del serbatoio è
[ G_{st}(s)
\frac{T'(s)}{T_{st}'(s)}
\frac{b_{st}}{s+a}
\frac{UA/(MC_p)}{s+F/M+UA/(MC_p)} ]
con la deviazione della temperatura del fluido in ingresso mantenuta a zero.
La relazione ingresso-uscita completa è quindi
[ T'(s)=G_i(s)T_i'(s)+G_{st}(s)T_{st}'(s) ]
Interpretare fisicamente il modello
Risposta alla temperatura di ingresso
Il percorso della temperatura di ingresso ha un numeratore (F/M). Una portata maggiore fa sì che i disturbi in ingresso influenzino il serbatoio più fortemente e riduce il tempo di residenza del liquido.
In stato stazionario, il guadagno della temperatura di ingresso è
[ K_i=G_i(0)=\frac{b_i}{a} ]
o
[ K_i
\frac{F/M}{F/M+UA/(MC_p)} ]
Risposta alla temperatura del vapore
Il percorso della temperatura del vapore ha un numeratore (UA/(MC_p)). Aumentare l'area di scambio termico o il coefficiente di scambio termico globale aumenta l'influenza delle variazioni della temperatura del vapore sul serbatoio.
Il suo guadagno in stato stazionario è
[ K_{st}=G_{st}(0)=\frac{b_{st}}{a} ]
o
[ K_{st}
\frac{UA/(MC_p)}{F/M+UA/(MC_p)} ]
Per questo modello semplificato,
[ K_i+K_{st}=1 ]
Ciò riflette il fatto che la temperatura stazionaria del serbatoio è un bilancio ponderato tra la temperatura del fluido in ingresso e la temperatura del vapore.
Costante di tempo e polo
Entrambe le funzioni di trasferimento hanno lo stesso denominatore e quindi lo stesso polo:
[ s=-a ]
La costante di tempo comune è
[ \tau=\frac{1}{a} ]
Usando (\tau), le funzioni di trasferimento possono anche essere scritte come
[ G_i(s)=\frac{K_i}{\tau s+1} ]
[ G_{st}(s)=\frac{K_{st}}{\tau s+1} ]
Il polo comune significa che entrambi gli ingressi sono filtrati dallo stesso accumulo termico del serbatoio. I loro effetti in stato stazionario differiscono, ma la loro velocità di risposta di base del primo ordine è la stessa secondo le ipotesi dichiarate.
Prevedere le risposte al gradino
Variazione a gradino della temperatura di ingresso
Per una variazione a gradino di ampiezza (\Delta T_i) nella temperatura di ingresso, con temperatura del vapore invariata,
[ T'(t)
K_i\Delta T_i \left(1-e^{-t/\tau}\right) ]
La temperatura del serbatoio si avvicina esponenzialmente al suo nuovo valore di stato stazionario.
Variazione a gradino della temperatura del vapore
Per un gradino di temperatura del vapore di ampiezza (\Delta T_{st}), con temperatura di ingresso invariata,
[ T'(t)
K_{st}\Delta T_{st} \left(1-e^{-t/\tau}\right) ]
La forma è identica, ma il guadagno è determinato dalla forza relativa dello scambio termico della serpentina.
Variazioni simultanee
Se entrambe le temperature cambiano contemporaneamente,
[ T'(t)
K_i\Delta T_i \left(1-e^{-t/\tau}\right) + K_{st}\Delta T_{st} \left(1-e^{-t/\tau}\right) ]
Per ingressi variabili nel tempo più generali, si utilizza direttamente il modello nel dominio di Laplace, oppure l'equazione differenziale originale può essere risolta numericamente e confrontata con i dati dei sensori dell'impianto pilota.
Collegare i parametri alle misurazioni dell'impianto pilota
Stimare la capacità di scambio termico
La quantità (UA) controlla quanto efficacemente le variazioni della temperatura del vapore vengono trasmesse al serbatoio. Può essere stimata da
[ Q=UA\Delta T_m ]
dove (\Delta T_m) è l'appropriata differenza di temperatura media, spesso la differenza di temperatura media logaritmica per i calcoli di tipo scambiatore.
Il valore misurato di (U) incorpora le resistenze di convezione, conduzione della parete e incrostazione.
Valutare l'effetto dell'agitazione
L'agitazione migliora la miscelazione e può aumentare il coefficiente di scambio termico lato fluido. Supporta anche l'ipotesi di miscelazione perfetta utilizzata nel modello.
Una miscelazione scarsa può causare la deviazione delle risposte misurate dal modello a temperatura singola, poiché diverse regioni del serbatoio potrebbero rispondere a velocità diverse.
Utilizzare i parametri adimensionali con cautela
Il rapporto
[ B=\frac{UA}{FC_p} ]
confronta la capacità di scambio termico della serpentina con la portata di capacità termica del flusso di processo.
Un (B) grande indica che il riscaldamento a vapore è forte rispetto agli effetti della portata del fluido. Un (B) piccolo indica che il flusso in ingresso ha una maggiore influenza sulla temperatura di uscita.
Comprendere i compromessi
Un modello del primo ordine è un'approssimazione
Il modello assume (U), (A), (F), (M) e (C_p) costanti. In un vero impianto pilota, questi parametri possono variare con la portata, la temperatura, la viscosità, l'incrostazione e la velocità dell'agitatore.
Le funzioni di trasferimento sono quindi più affidabili vicino al punto operativo stazionario utilizzato per la linearizzazione.
La temperatura del vapore potrebbe non equivalere al carico termico
Il modello tratta la temperatura del vapore come un ingresso e utilizza
[ Q=UA(T_{st}-T) ]
Questo è appropriato quando il vapore condensa a una temperatura approssimativamente costante e la dinamica della serpentina è veloce rispetto alla dinamica del serbatoio.
Se la pressione del vapore, la posizione della valvola, la rimozione della condensa o la temperatura della parete della serpentina hanno dinamiche significative, la sola temperatura del vapore potrebbe non rappresentare adeguatamente l'ingresso di riscaldamento.
La dinamica del trasporto e dei sensori può essere importante
Il bilancio ideale non ha alcun ritardo esplicito tra una variazione della temperatura di ingresso e il suo effetto sul serbatoio. Tubazioni reali, posizioni di campionamento, pozzetti termometrici e sensori di temperatura possono introdurre ritardi di trasporto e costanti di tempo aggiuntive.
Questi effetti dovrebbero essere inclusi quando le funzioni di trasferimento adattate non corrispondono ai dati dei test a gradino sperimentali.
La linearizzazione limita l'intervallo valido
Il modello a variabili di deviazione assume variazioni sufficientemente piccole da mantenere i parametri del sistema approssimativamente costanti. Grandi variazioni di temperatura o portata potrebbero richiedere un bilancio energetico non lineare o un'integrazione numerica.
Una validazione affidabile controlla la condizione iniziale, lo stato stazionario a lungo termine e se la curva transitoria prevista concorda con i dati misurati.
Fare la scelta giusta per il proprio obiettivo
Utilizzare il modello derivato dal bilancio come punto di partenza per l'analisi e la progettazione del controllo.
- Se l'attenzione principale è rivolta ai disturbi della temperatura di ingresso: Utilizzare (G_i(s)), enfatizzando il rapporto portata-accumulo (F/M) e il guadagno della risposta al gradino in ingresso (K_i).
- Se l'attenzione principale è rivolta al controllo della temperatura del vapore: Utilizzare (G_{st}(s)), enfatizzando (UA/(MC_p)), l'area di scambio termico, l'agitazione e il coefficiente globale (U).
- Se l'attenzione principale è rivolta alla validazione dell'impianto pilota: Eseguire test a gradino, stimare i guadagni e la costante di tempo e confrontare la risposta misurata con le previsioni del primo ordine.
- Se l'attenzione principale è rivolta alla simulazione ad alta fedeltà: Mantenere il bilancio energetico non lineare e aggiungere dinamiche di trasporto, serpentina, valvola e sensore dove i dati mostrano che il modello del primo ordine è insufficiente.
Una funzione di trasferimento è la conseguenza dinamica compatta di un bilancio energetico fisico, che collega le variazioni misurabili del processo alla risposta della temperatura del serbatoio.
Tabella riassuntiva:
| Elemento chiave | Risultato | Significato pratico |
|---|---|---|
| Modello dinamico | MCp(dT/dt) = FCp(Ti - T) + UA(Tst - T) |
Descrive l'accumulo di calore nel serbatoio, il flusso in ingresso e il riscaldamento a vapore |
| Funzione di trasferimento temperatura ingresso | Gi(s) = (F/M) / [s + F/M + UA/(MCp)] |
Prevede la risposta del serbatoio alle variazioni della temperatura del fluido in ingresso |
| Funzione di trasferimento temperatura vapore | Gst(s) = [UA/(MCp)] / [s + F/M + UA/(MCp)] |
Prevede la risposta del serbatoio alle variazioni della temperatura del vapore di riscaldamento |
| Guadagno in stato stazionario ingresso | Ki = (F/M) / [F/M + UA/(MCp)] |
Misura l'influenza della temperatura di ingresso sulla temperatura del serbatoio |
| Guadagno in stato stazionario vapore | Kst = [UA/(MCp)] / [F/M + UA/(MCp)] |
Misura l'influenza del riscaldamento della temperatura del vapore |
| Costante di tempo comune | tau = MCp / (FCp + UA) |
Indica quanto velocemente il serbatoio si avvicina a una nuova temperatura |
| Fattori chiave di validazione | U, A, F, M, Cp, miscelazione, ritardo e dinamica dei sensori |
Determina quanto il modello corrisponde ai dati dell'impianto pilota |
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