Il comportamento dinamico non lineare di un CSTR non isotermo viene linearizzato espandendo le sue equazioni non lineari di bilancio intorno a un punto operativo allo stato stazionario e mantenendo solo i termini del primo ordine. La principale non linearità deriva dalla velocità di reazione di Arrhenius, (k(T)c_A = k_0 e^{-E/(RT)}c_A), poiché la temperatura influenza esponenzialmente la velocità di reazione, mentre la concentrazione la influenza direttamente. Il modello risultante nelle variabili di deviazione è un insieme accoppiato di equazioni differenziali lineari adatto all'analisi della stabilità, della risposta transitoria e del controllo.

Un CSTR non isotermo viene linearizzato localmente, non globalmente: i bilanci non lineari di materia ed energia vengono sostituiti dalla loro approssimazione di Taylor del primo ordine intorno a uno stato stazionario selezionato. Si ottiene così un modello lineare nello spazio degli stati che descrive accuratamente piccole deviazioni nella concentrazione, nella temperatura, nella portata, nelle condizioni di alimentazione e nel carico di raffreddamento.

Perché il modello del CSTR è non lineare

Il bilancio di componente

Per una reazione del primo ordine, il bilancio del reagente può essere scritto come

[ \frac{dc_A}{dt}

\frac{F_i}{V}(c_{Ai}-c_A)

k_0e^{-E/(RT)}c_A ]

Il termine non lineare è la velocità di reazione,

[ r_A=k_0e^{-E/(RT)}c_A ]

La dipendenza esponenziale dalla temperatura è la principale fonte di non linearità.

Il bilancio energetico

Il bilancio energetico del reattore è

[ \frac{dT}{dt}

\frac{F_i}{V}(T_i-T) + \frac{(-\Delta H_r)k_0e^{-E/(RT)}c_A}{\rho c_p}

\frac{Q}{\rho c_pV} ]

Per una reazione esotermica, un aumento della temperatura incrementa la velocità di reazione, generando ulteriore calore. Questo calore può aumentare ulteriormente la temperatura, creando il feedback responsabile della sensibilità termica, degli stati stazionari multipli e della potenziale instabilità.

Il bilancio di volume

Il bilancio di massa totale è

[ \frac{dV}{dt}=F_i-F ]

Se le portate in ingresso e in uscita vengono mantenute uguali, il volume del reattore è approssimativamente costante e i principali stati dinamici sono la concentrazione e la temperatura. Se la dinamica del livello o della portata è importante, (V) viene mantenuto come stato aggiuntivo durante la linearizzazione.

Selezione del punto operativo

Condizioni allo stato stazionario

Scegliere uno stato stazionario nominale definito da

[ \bar{c}_A,\quad \bar{T},\quad \bar{V},\quad \bar{F}i,\quad \bar{c}{Ai},\quad \bar{T}_i,\quad \bar{Q} ]

Allo stato stazionario, le derivate delle variabili di stato sono nulle:

[ \left.\frac{dc_A}{dt}\right|{\mathrm{ss}}=0, \qquad \left.\frac{dT}{dt}\right|{\mathrm{ss}}=0, \qquad \left.\frac{dV}{dt}\right|_{\mathrm{ss}}=0 ]

I bilanci allo stato stazionario stabiliscono il punto di riferimento intorno al quale viene approssimato il modello.

Variabili di deviazione

Ogni variabile di processo viene espressa come il proprio valore allo stato stazionario più una piccola deviazione:

[ c_A=\bar{c}_A+\Delta c_A ]

[ T=\bar{T}+\Delta T ]

[ V=\bar{V}+\Delta V ]

Ingressi e disturbi vengono trattati in modo analogo:

[ Q=\bar{Q}+\Delta Q, \qquad c_{Ai}=\bar{c}{Ai}+\Delta c{Ai}, \qquad T_i=\bar{T}_i+\Delta T_i ]

Le variabili di deviazione descrivono quanto l'impianto si è allontanato dalla propria condizione operativa nominale.

Linearizzazione della velocità di reazione di Arrhenius

Espansione di Taylor del primo ordine

Definire la funzione non lineare della velocità di reazione come

[ r(c_A,T)=k_0e^{-E/(RT)}c_A ]

Un'espansione di Taylor a due variabili intorno a ((\bar{c}_A,\bar{T})) fornisce

[ r(c_A,T) \approx r(\bar{c}A,\bar{T}) + \left.\frac{\partial r}{\partial c_A}\right|{\mathrm{ss}}\Delta c_A + \left.\frac{\partial r}{\partial T}\right|_{\mathrm{ss}}\Delta T ]

I termini che coinvolgono prodotti come (\Delta c_A\Delta T), così come i termini del secondo ordine e di ordine superiore, vengono trascurati.

Calcolo delle derivate

La costante di velocità nominale è

[ \bar{k}=k_0e^{-E/(R\bar{T})} ]

Pertanto,

[ \left.\frac{\partial r}{\partial c_A}\right|_{\mathrm{ss}}

\bar{k} ]

[ \left.\frac{\partial r}{\partial T}\right|_{\mathrm{ss}}

\bar{k}\bar{c}_A \frac{E}{R\bar{T}^{2}} ]

La velocità di reazione linearizzata diventa

[ \Delta r \approx \bar{k}\Delta c_A + \bar{k}\bar{c}_A \frac{E}{R\bar{T}^{2}}\Delta T ]

oppure, in modo equivalente,

[ r \approx \bar{r} + \bar{k}\Delta c_A + \bar{k}\bar{c}_A \frac{E}{R\bar{T}^{2}}\Delta T ]

Questa espressione mostra direttamente come le perturbazioni della concentrazione e della temperatura modifichino la velocità di reazione vicino al punto operativo selezionato.

Formazione del modello dinamico linearizzato

Approssimazione a volume costante

Per un reattore a volume costante con (F_i=F=\bar{F}), il bilancio di concentrazione diventa

[ \frac{dc_A}{dt}

\frac{\bar{F}}{\bar{V}}(c_{Ai}-c_A)

r(c_A,T) ]

Dopo aver sostituito l'approssimazione di Taylor e cancellato i termini allo stato stazionario,

[ \frac{d\Delta c_A}{dt}

\left( \frac{\bar{F}}{\bar{V}}+\bar{k} \right)\Delta c_A

\bar{k}\bar{c}A \frac{E}{R\bar{T}^{2}}\Delta T + \frac{\bar{F}}{\bar{V}}\Delta c{Ai} ]

Questa equazione descrive la dinamica locale della concentrazione come combinazione lineare delle deviazioni della concentrazione, della temperatura e della concentrazione di alimentazione.

Bilancio energetico linearizzato

Definire

[ \alpha=\frac{-\Delta H_r}{\rho c_p} ]

Il contributo del calore di reazione è (\alpha r). Il bilancio energetico linearizzato è quindi

[ \frac{d\Delta T}{dt}

\alpha\bar{k}\Delta c_A + \left[ -\frac{\bar{F}}{\bar{V}} + \alpha\bar{k}\bar{c}_A \frac{E}{R\bar{T}^{2}} \right]\Delta T + \frac{\bar{F}}{\bar{V}}\Delta T_i

\frac{1}{\rho c_p\bar{V}}\Delta Q ]

L'equazione della temperatura contiene il feedback termico locale. Il coefficiente che moltiplica (\Delta T) riflette la competizione tra il raffreddamento convettivo e l'aumento della generazione di calore causato da un incremento della temperatura.

Inclusione della dinamica del volume o della portata

Se il volume del reattore non è costante, anche il bilancio di volume viene linearizzato:

[ \frac{d\Delta V}{dt}=\Delta F_i-\Delta F ]

I fattori (F_i/V) nei bilanci di concentrazione ed energia devono quindi essere espansi a loro volta. Ad esempio, l'approssimazione del primo ordine del termine di diluizione in ingresso è

[ \frac{F_i}{V} \approx \frac{\bar{F}_i}{\bar{V}} + \frac{1}{\bar{V}}\Delta F_i

\frac{\bar{F}_i}{\bar{V}^{2}}\Delta V ]

Questo introduce un accoppiamento tra portata, volume del liquido, concentrazione e temperatura.

Espressione del modello nella forma dello spazio degli stati

Vettori di stato, ingresso e disturbo

Un tipico vettore di stato è

[ x= \begin{bmatrix} c_A\ T\ V \end{bmatrix} ]

Per un'analisi a volume costante, può essere ridotto a

[ x= \begin{bmatrix} c_A\ T \end{bmatrix} ]

Le variabili manipolate possono includere il carico di raffreddamento (Q), la portata in uscita (F) o la portata del refrigerante attraverso una camicia. La concentrazione di alimentazione, la temperatura di alimentazione e la portata in ingresso vengono comunemente trattate come disturbi.

Rappresentazione tramite matrice Jacobiana

Il modello non lineare può essere scritto in forma generale come

[ \dot{x}=f(x,u,d) ]

dove (x) contiene gli stati, (u) gli ingressi manipolati e (d) i disturbi. La linearizzazione intorno allo stato stazionario fornisce

[ \Delta\dot{x}

A\Delta x+B\Delta u+E\Delta d ]

con

[ A= \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|{\mathrm{ss}}, \qquad B= \left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|{\mathrm{ss}}, \qquad E= \left.\frac{\partial f}{\partial d}\right|_{\mathrm{ss}} ]

L'equazione di uscita viene scritta analogamente come

[ \Delta y=C\Delta x+D\Delta u ]

Questa forma nello spazio degli stati costituisce la base standard per l'analisi del controllo di processo.

Cosa rivela il modello lineare

Stabilità locale

Gli autovalori della matrice di stato (A) determinano la stabilità locale. Se tutti gli autovalori hanno parti reali negative, le piccole perturbazioni si smorzano e lo stato stazionario selezionato è localmente stabile.

Se almeno un autovalore ha parte reale positiva, le piccole deviazioni crescono e lo stato stazionario è localmente instabile.

Risposta transitoria

Il modello lineare predice come la concentrazione e la temperatura rispondono a piccole variazioni del carico di raffreddamento, della concentrazione di alimentazione, della temperatura di alimentazione o della portata. Può essere utilizzato per stimare la velocità di risposta, il sovraelongamento, l'interazione tra le variabili e le costanti di tempo dominanti.

Controllo del trasferimento di calore

Il carico di raffreddamento (Q) compare come ingresso nel bilancio energetico. Ciò rende il modello linearizzato utile per valutare le strategie di controllo della temperatura, incluso il controllo a feedback o in cascata che coinvolge la temperatura del reattore e la portata nella camicia o del refrigerante.

Molteplici punti operativi

Un CSTR non isotermo può avere più di uno stato stazionario perché la generazione di calore della reazione aumenta fortemente con la temperatura, mentre la rimozione del calore risponde attraverso i meccanismi di flusso e raffreddamento. Ogni stato stazionario ha la propria matrice Jacobiana e quindi il proprio comportamento dinamico locale.

Un modello lineare sviluppato intorno a un punto operativo non dovrebbe essere utilizzato automaticamente per rappresentare la dinamica vicino a un altro punto operativo.

Comprendere i compromessi

Il modello è accurato solo localmente

L'approssimazione di Taylor è affidabile per deviazioni sufficientemente piccole dallo stato stazionario selezionato. Variazioni elevate della temperatura o della concentrazione possono rendere significativi i termini di ordine superiore trascurati.

Per l'avviamento, l'arresto, i grandi disturbi o le transizioni tra stati stazionari, è necessario simulare il modello non lineare originale.

Una forte sensibilità termica può limitare l'accuratezza

Poiché il termine di Arrhenius varia esponenzialmente con la temperatura, anche deviazioni moderate della temperatura possono produrre variazioni considerevoli della velocità. Un modello lineare può quindi perdere accuratezza più rapidamente in un sistema fortemente esotermico o con elevata energia di attivazione rispetto a un sistema scarsamente sensibile alla temperatura.

Le ipotesi di volume costante possono nascondere dinamiche importanti

L'ipotesi (F_i=F) semplifica il modello eliminando la dinamica del volume. Questa ipotesi non è appropriata quando le variazioni di livello, le portate in ingresso e in uscita non uguali o le dinamiche di controllo della portata influenzano materialmente la risposta del reattore.

La linearizzazione non determina la stabilità globale

L'analisi degli autovalori descrive il comportamento vicino a un punto operativo. Da sola non può stabilire il comportamento dell'intero reattore non lineare per tutte le possibili temperature, concentrazioni o condizioni di portata.

Come applicare questo metodo al tuo progetto

La procedura di linearizzazione appropriata dipende dall'obiettivo dell'analisi e dalle variabili che vengono controllate attivamente.

Se il tuo obiettivo principale è la stabilità locale: Risolvi i bilanci allo stato stazionario, calcola la matrice Jacobiana in quel punto operativo e analizza gli autovalori di (A).
Se il tuo obiettivo principale è il controllo della temperatura: Mantieni la derivata della temperatura nel termine di Arrhenius e utilizza il carico di raffreddamento o la portata del refrigerante come ingresso manipolato.
Se il tuo obiettivo principale è il controllo della composizione: Includi la concentrazione come uscita controllata e analizza gli effetti della concentrazione di alimentazione, della portata di alimentazione e dei disturbi di temperatura.
Se il tuo obiettivo principale è il controllo del livello o della portata: Mantieni il bilancio di volume e linearizza i termini (F_i/V) invece di assumere un volume costante.
Se il tuo obiettivo principale riguarda grandi transitori o fenomeni di runaway: Utilizza i bilanci non lineari completi di materia ed energia, poiché un singolo modello lineare locale non può descrivere il comportamento termico globale.

Il modello essenziale di controllo di processo si ottiene valutando le prime derivate dei bilanci non lineari del CSTR in uno stato stazionario, trasformando il reattore in un sistema lineare locale per un'analisi rigorosa a piccoli segnali.

Tabella riassuntiva:

Aspetto principale	Riepilogo
Principale non linearità	Cinetica di reazione di Arrhenius, nella quale la temperatura influenza esponenzialmente la velocità di reazione.
Punto operativo	Uno stato stazionario selezionato, definito dalla concentrazione, dalla temperatura, dal volume, dalla portata, dall'alimentazione e dalle condizioni di raffreddamento nominali.
Metodo di linearizzazione	Espansione di Taylor del primo ordine dei bilanci non lineari di materia ed energia.
Stati principali	Concentrazione del reagente e temperatura; il volume del reattore viene incluso quando la dinamica del livello o della portata è importante.
Modello lineare	Forma nelle variabili di deviazione: Δẋ = AΔx + BΔu + EΔd.
Ingressi di controllo	Carico di raffreddamento, portata del refrigerante, portata in uscita o altre variabili manipolate.
Applicazioni dell'analisi	Stabilità locale, risposta transitoria, costanti di tempo, interazioni di processo e progettazione del controllo della temperatura.
Limitazione principale	Il modello è accurato localmente e non dovrebbe sostituire il modello non lineare per l'analisi di grandi transitori o dei fenomeni di runaway.

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