Per il flusso stazionario e completamente sviluppato di due strati liquidi immiscibili in un canale, le equazioni governanti si riducono a un'equazione della quantità di moto per ciascuna fase, accoppiata dalle condizioni alle pareti e all'interfaccia liquido-liquido. Per fluidi newtoniani incomprimibili, la conservazione della massa richiede un campo di velocità a divergenza nulla, mentre la conservazione della quantità di moto è descritta dalle equazioni di Navier-Stokes. Nella comune approssimazione a piastre parallele, la velocità assiale in ciascuna fase è quadratica attraverso il canale e le costanti di integrazione sono determinate dalla condizione di non scorrimento alle pareti, oltre che dalla continuità della velocità e dello sforzo di taglio all'interfaccia.

I profili di velocità sono regolati dai bilanci della quantità di moto in ciascuna fase, determinati dal gradiente di pressione. Il contrasto di viscosità influenza il profilo attraverso le equazioni della quantità di moto specifiche di ciascuna fase, mentre le condizioni all'interfaccia impongono un movimento fisicamente coerente e il trasferimento degli sforzi tra i liquidi.

Cosa Deve Essere Risolto

Continuità in Ciascuna Fase

Per fasi incomprimibili a densità costante, l'equazione di continuità è

[ \nabla \cdot \mathbf{v}^{(i)} = 0, \qquad i=1,2 ]

dove (\mathbf{v}^{(i)}) è il campo di velocità della fase (i).

Per un flusso in canale stazionario, completamente sviluppato e unidirezionale,

[ \mathbf{v}^{(i)} = \left(v_x^{(i)}(y),0,0\right) ]

e la continuità è automaticamente soddisfatta perché la velocità assiale varia soltanto nella direzione trasversale.

Conservazione della Quantità di Moto

L'equazione generale della quantità di moto per un fluido newtoniano incomprimibile in ciascuna fase è

[ \rho_i \frac{D\mathbf{v}^{(i)}}{Dt}

\rho_i\mathbf{g} -\nabla P^{(i)} +\mu_i\nabla^2\mathbf{v}^{(i)} ]

dove (\rho_i), (\mu_i) e (P^{(i)}) sono rispettivamente la densità, la viscosità dinamica e la pressione della fase (i).

Questa equazione include l'accelerazione transitoria e convettiva, la gravità, le forze di pressione e la diffusione viscosa della quantità di moto.

Flusso Assiale Completamente Sviluppato

Quando il flusso è stazionario, completamente sviluppato e azionato principalmente da un gradiente di pressione assiale, l'equazione della quantità di moto assiale diventa

[ 0

-\frac{dP^{(i)}}{dx} + \mu_i\frac{d^2v_x^{(i)}}{dy^2} ]

oppure, in modo equivalente,

[ \frac{d^2v_x^{(i)}}{dy^2}

\frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx} ]

per ciascuno strato liquido.

La distribuzione di velocità risultante è

[ v_x^{(i)}(y)

\frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx}\frac{y^2}{2} + a_i y+b_i ]

dove (a_i) e (b_i) sono costanti di integrazione determinate dalle condizioni al contorno e all'interfaccia.

Condizioni al Contorno sulle Pareti Solide

Condizione di Non Scorrimento

Su una parete solida stazionaria, la velocità tangenziale del fluido è uguale alla velocità della parete. Per la geometria a due strati nella configurazione di riferimento,

[ v_x^{(1)}(H_1)=0 ]

[ v_x^{(2)}(-H_2)=0 ]

dove la fase 1 occupa la regione tra l'interfaccia e la parete superiore, mentre la fase 2 occupa la regione tra la parete inferiore e l'interfaccia.

Queste condizioni forniscono due delle quattro equazioni necessarie per determinare le costanti di integrazione.

Condizione di Non Penetrazione

Su una parete stazionaria impermeabile, la velocità normale è nulla:

[ \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(i)}=0 ]

Questa condizione impedisce a entrambi i liquidi di attraversare la parete del canale. Nella soluzione idealizzata unidirezionale, è già rappresentata dall'assenza di una componente di velocità normale alla parete.

Pareti Mobili o Porose

Se una parete si muove, la condizione tangenziale diventa

[ \mathbf{v}t=\mathbf{V}{w,t} ]

anziché essere nulla. Una parete porosa o reattiva richiede una condizione separata per il flusso normale, poiché il fluido o le specie possono attraversare il contorno.

Condizioni all'Interfaccia Liquido-Liquido

Condizione Cinematica dell'Interfaccia

Su un'interfaccia stazionaria situata in (y=0), la velocità normale deve essere compatibile con la posizione dell'interfaccia. Per un'interfaccia impermeabile e non reattiva,

[ \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(1)}

\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(2)} ]

Per la configurazione parallela e completamente sviluppata, entrambe le velocità normali sono nulle.

Se l'interfaccia si muove o si deforma, la sua velocità deve invece soddisfare la corrispondente condizione cinematica. La posizione dell'interfaccia diventa quindi parte della soluzione incognita.

Continuità della Velocità Tangenziale

Per due liquidi newtoniani immiscibili ordinari senza scorrimento interfacciale,

[ v_x^{(1)}(0)=v_x^{(2)}(0) ]

Questa condizione garantisce che gli strati liquidi abbiano la stessa velocità tangenziale al loro confine comune.

Fornisce la terza relazione necessaria per determinare le costanti di integrazione.

Continuità dello Sforzo di Taglio

Quando sull'interfaccia non è presente alcuno sforzo tangenziale generato da gradienti di tensione superficiale, gli sforzi di taglio viscosi sono continui:

[ \mu_1\frac{dv_x^{(1)}}{dy}(0)

\mu_2\frac{dv_x^{(2)}}{dy}(0) ]

Questo è essenziale quando le viscosità sono diverse. Il gradiente di velocità generalmente cambia attraverso l'interfaccia affinché lo sforzo di taglio rimanga bilanciato.

Fornisce la quarta relazione per le quattro costanti di integrazione nei due profili di velocità quadratici.

Sforzo Normale e Tensione Superficiale

Un modello bifase completo richiede anche una condizione per lo sforzo normale all'interfaccia. In forma generale,

[ \mathbf{n}\cdot \left(\boldsymbol{\tau}^{(1)}-\boldsymbol{\tau}^{(2)}\right) \cdot\mathbf{n}

\gamma\kappa ]

con un'opportuna convenzione dei segni, dove (\boldsymbol{\tau}) è il tensore degli sforzi totale, (\gamma) è la tensione interfacciale e (\kappa) è la curvatura dell'interfaccia.

Per un'interfaccia piana e stazionaria con tensione interfacciale costante, la curvatura è nulla e la condizione sullo sforzo normale si riduce all'uguaglianza degli sforzi normali. Questa condizione diventa particolarmente importante quando l'interfaccia si deforma, il canale non è planare o le forze capillari controllano la distribuzione delle fasi.

Effetti Marangoni

Se la tensione interfacciale varia con la temperatura o la composizione, lo sforzo tangenziale non è semplicemente continuo. Il suo salto è bilanciato dal gradiente di tensione superficiale:

[ \mathbf{t}\cdot \left(\boldsymbol{\tau}^{(1)}-\boldsymbol{\tau}^{(2)}\right) \cdot\mathbf{n}

\nabla_s\gamma\cdot\mathbf{t} ]

dove (\nabla_s) indica il gradiente superficiale.

Per liquidi isotermi con composizione uniforme all'interfaccia, questo termine viene normalmente trascurato.

Condizioni alle Entrate e alle Uscite del Canale

Flusso in Ingresso Specificato

I modelli degli impianti pilota specificano comunemente i profili di velocità in ingresso, le portate delle fasi o le portate volumetriche totali. Un ingresso completamente sviluppato può essere imposto come

[ v_x^{(i)}(y)=v_{\text{in}}^{(i)}(y) ]

oppure tramite la portata della fase,

[ Q_i=\int_{A_i}v_x^{(i)},dA ]

La specifica in ingresso deve essere coerente con la distribuzione delle fasi e con la posizione dell'interfaccia.

Gradiente di Pressione Specificato

Per un canale lungo e completamente sviluppato, il gradiente di pressione può essere l'ingresso di controllo:

[ \frac{dP^{(i)}}{dx} ]

In molte configurazioni di canale a co-corrente, il gradiente di pressione assiale è comune a entrambe le fasi, sebbene i profili di velocità risultanti differiscano perché le viscosità e gli spessori degli strati sono diversi.

Condizione all'Uscita

All'uscita, il modello può specificare la pressione, una condizione di flusso sviluppato o un'appropriata condizione di uscita convettiva. La scelta dipende dal fatto che l'impianto pilota venga modellato come azionato dalla pressione, controllato dalla portata o collegato ad apparecchiature a valle.

La condizione all'uscita deve evitare di imporre un vincolo artificiale su un'interfaccia o un campo di velocità in fase di sviluppo.

Perché il Contrasto di Viscosità è Importante

Curvatura Diversa dei Profili

La curvatura di ciascun profilo di velocità è proporzionale a

[ \frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx} ]

A parità di gradiente di pressione, la fase meno viscosa sviluppa una curvatura della velocità maggiore rispetto alla fase più viscosa.

Il Bilancio degli Sforzi Controlla la Variazione del Gradiente

Sebbene la velocità tangenziale sia continua all'interfaccia, i gradienti di velocità non devono necessariamente esserlo. La condizione sugli sforzi richiede

[ \mu_1\left.\frac{dv_x^{(1)}}{dy}\right|_{0}

\mu_2\left.\frac{dv_x^{(2)}}{dy}\right|_{0} ]

Di conseguenza, il rapporto di viscosità modifica il modo in cui la quantità di moto viene distribuita tra gli strati.

Conseguenze per le Operazioni Unitarie

Il campo di velocità risultante influenza la distribuzione dei tempi di residenza, il rinnovamento interfacciale, la perdita di carico, la ritenzione delle fasi, l'area di trasferimento di massa e le prestazioni di separazione.

Questi effetti sono importanti nei moduli di estrazione liquido-liquido, nei reattori a flusso stratificato, nei dispositivi a contatto con membrane e in altre apparecchiature pilota a canale.

Comprendere i Compromessi

L'Assunzione di Flusso Completamente Sviluppato

La soluzione quadratica è valida soltanto dopo che gli effetti di ingresso sono diventati trascurabili. In prossimità di ingressi, distributori, curve, contrazioni e dispositivi di separazione delle fasi, lo sviluppo assiale e il moto secondario possono richiedere le equazioni multidimensionali complete.

L'Assunzione di Interfaccia Piana

Un'interfaccia fissa in (y=0) esclude la deformazione dell'interfaccia e l'evoluzione capillare. Ciò può essere inadeguato quando le portate sono elevate, le dimensioni del canale sono ridotte, la tensione interfacciale è bassa o le proprietà delle fasi producono differenze di pressione significative.

L'Assunzione di Flusso Laminare

L'equazione differenziale ordinaria semplificata descrive un flusso viscoso e completamente sviluppato ed è applicabile più direttamente in condizioni laminari. Se il canale entra in un regime di transizione o turbolento, possono essere necessarie ulteriori relazioni di chiusura e la modellazione della turbolenza.

Il numero di Reynolds dovrebbe basarsi su una dimensione idraulica appropriata, come il diametro medio idraulico

[ d_m=\frac{4A}{p} ]

per la geometria del canale pertinente.

L'Assunzione di Non Scorrimento all'Interfaccia

La continuità della velocità presuppone uno scorrimento interfacciale trascurabile. In alcuni sistemi specializzati, tensioattivi, contaminazione, reologia interfacciale o effetti su microscala possono modificare la condizione all'interfaccia e richiedere un modello costitutivo interfacciale.

L'Assunzione di Proprietà Costanti

Le equazioni di riferimento assumono viscosità e densità costanti. Forti gradienti di temperatura o composizione possono rendere variabili (\mu_i) e (\rho_i), accoppiando la quantità di moto ai bilanci di energia e delle specie.

Scegliere l'Approccio Giusto per il Proprio Obiettivo

Utilizza i seguenti principi di selezione del modello quando rappresenti un impianto pilota bifase a canale:

Se l'obiettivo principale è il flusso guidato dalla pressione e completamente sviluppato: Risolvi le equazioni ridotte della quantità di moto specifiche per fase con non scorrimento alle pareti, continuità della velocità tangenziale e continuità dello sforzo tangenziale all'interfaccia.
Se l'obiettivo principale è la posizione dell'interfaccia o la ritenzione delle fasi: Aggiungi la condizione cinematica dell'interfaccia e il bilancio dello sforzo normale, includendo tensione superficiale e curvatura.
Se l'obiettivo principale è il comportamento nella zona di ingresso, del distributore o della curva: Mantieni le equazioni complete di Navier-Stokes transitorie o stazionarie multidimensionali e imponi condizioni fisicamente coerenti in ingresso, uscita, alle pareti e all'interfaccia.
Se l'obiettivo principale è il trasferimento di massa o la reazione: Accoppia le equazioni del flusso alla conservazione delle specie e imponi condizioni di concentrazione o di flusso agli ingressi, alle pareti e all'interfaccia liquido-liquido.
Se l'obiettivo principale è lo scale-up e la previsione della perdita di carico: Includi il diametro idraulico appropriato, il regime del numero di Reynolds, la rugosità delle pareti, le portate delle fasi e le variazioni delle proprietà.

Un modello affidabile di impianto pilota bifase non è definito soltanto dalle sue equazioni differenziali, ma anche da condizioni al contorno e all'interfaccia che rappresentino accuratamente il funzionamento dell'apparecchiatura reale.

Tabella Riassuntiva:

Elemento del modello	Requisito governante	Scopo
Continuità	`∇ · v⁽ⁱ⁾ = 0`	Garantisce la conservazione della massa incomprimibile in ciascuna fase
Quantità di moto	`ρᵢ Dv⁽ⁱ⁾/Dt = ρᵢg − ∇P⁽ⁱ⁾ + μᵢ∇²v⁽ⁱ⁾`	Descrive gli effetti della pressione, della gravità, dell'inerzia e della viscosità
Flusso completamente sviluppato	`0 = −dP⁽ⁱ⁾/dx + μᵢ d²vₓ⁽ⁱ⁾/dy²`	Produce profili di velocità quadratici in ciascuno strato
Pareti solide	Condizioni di non scorrimento e non penetrazione	Definisce il moto del fluido su pareti stazionarie, mobili o porose
Interfaccia liquido-liquido	Compatibilità della velocità normale e continuità della velocità tangenziale	Mantiene un confine tra le fasi fisicamente coerente
Sforzo di taglio	`μ₁ dvₓ⁽¹⁾/dy = μ₂ dvₓ⁽²⁾/dy`	Bilancia il trasferimento della quantità di moto attraverso l'interfaccia
Sforzo normale	Salto dello sforzo bilanciato da `γκ`	Tiene conto della curvatura e della tensione superficiale quando l'interfaccia si deforma
Effetti Marangoni	Salto dello sforzo tangenziale bilanciato da `∇ₛγ`	Rappresenta i gradienti di tensione superficiale causati dalla temperatura o dalla composizione
Ingresso e uscita	Portata, velocità, pressione o condizione di flusso sviluppato prescritta	Adatta il modello al funzionamento effettivo dell'impianto pilota
Modelli estesi	Equazioni dell'energia, delle specie, della turbolenza e delle proprietà variabili	Supporta il trasferimento di massa, la reazione, lo scale-up e condizioni operative non ideali

Progetta un impianto pilota bifase a canale affidabile con LABPARK. I nostri impianti pilota per operazioni unitarie didattiche e professionali supportano applicazioni nell'ingegneria chimica, nei bioprocessi e nelle biotecnologie, nonché nel settore ambientale e del trattamento delle acque. Aiutiamo università, istituti di ricerca e aziende a valutare la perdita di carico, la ritenzione delle fasi, il tempo di residenza, il trasferimento di massa, le prestazioni di separazione e lo scale-up in condizioni operative realistiche. Contatta LABPARK per discutere i tuoi fluidi di interesse, il regime di flusso, la configurazione del canale e i requisiti di formazione o ricerca. Il nostro team può aiutarti a selezionare un sistema di impianto pilota pratico che migliori la ripetibilità sperimentale, supporti la formazione pratica e generi dati di processo utili per lo sviluppo industriale.