La coppia teorica su una sfera che ruota in flusso di Stokes è (G=-8\pi\mu\omega R^3), dove (G) è la coppia di resistenza idrodinamica, (\mu) è la viscosità dinamica, (\omega) è la velocità angolare e (R) è il raggio della sfera. Il segno negativo indica che la coppia del fluido si oppone alla rotazione della sfera; la sua intensità è (8\pi\mu\omega R^3). Nelle apparecchiature didattiche per la viscosimetria delle operazioni unitarie, questa relazione lineare tra coppia e velocità consente agli studenti di calcolare la viscosità direttamente dalla coppia misurata e dalla velocità di rotazione.

Per una sfera che ruota in un fluido effettivamente illimitato a un numero di Reynolds molto basso, (\lvert G\rvert=8\pi\mu\omega R^3). Pertanto, una misurazione della coppia a (R) e (\omega) noti fornisce (\mu=\lvert G\rvert/(8\pi R^3\omega)), a condizione che le ipotesi di flusso di Stokes e di effetto parete trascurabile siano valide.

Perché la coppia è lineare rispetto alla velocità angolare

Condizioni di flusso di Stokes (creeping-flow)

Il risultato si applica quando il numero di Reynolds è molto inferiore a uno:

[ \mathrm{Re}\ll 1 ]

In questa condizione, gli effetti inerziali sono trascurabili rispetto a quelli viscosi. Il moto del fluido è quindi governato dalle equazioni lineari di Stokes, rendendo la coppia resistente direttamente proporzionale alla velocità angolare.

Campo di velocità attorno alla sfera

Per una sfera che ruota attorno a un asse, la velocità del fluido è puramente azimutale. In coordinate sferiche, il campo di velocità è

[ v_\phi(r,\theta)=\frac{\omega R^3\sin\theta}{r^2} ]

dove (r) è la distanza dal centro della sfera e (\theta) è l'angolo polare misurato dall'asse di rotazione.

Questo campo soddisfa la condizione di non scorrimento (no-slip) sulla superficie della sfera e decade allontanandosi da essa.

Sforzo di taglio superficiale

Lo sforzo di taglio azimutale sulla superficie della sfera si ottiene da

[ \tau_{r\phi}

\mu r\frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{v_\phi}{r}\right) ]

Sostituendo il profilo di velocità e valutando in (r=R) si ottiene

[ \tau_{r\phi}(R,\theta)

-3\mu\omega\sin\theta ]

Lo sforzo è massimo vicino all'equatore della sfera, dove (\sin\theta) è maggiore, e svanisce ai poli di rotazione.

Derivazione della coppia di resistenza

Contributo di un elemento superficiale

Un elemento superficiale sulla sfera è

[ dA=R^2\sin\theta,d\theta,d\phi ]

Il braccio di leva locale rispetto all'asse di rotazione è

[ R\sin\theta ]

Pertanto, la coppia differenziale è la forza di taglio sull'elemento superficiale moltiplicata per questo braccio di leva:

[ dG

\tau_{r\phi}(R,\theta) \left(R\sin\theta\right)dA ]

Integrazione sulla sfera

L'integrazione sull'intera superficie sferica fornisce

[ G

\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \left(-3\mu\omega\sin\theta\right) \left(R\sin\theta\right) \left(R^2\sin\theta\right) ,d\theta,d\phi ]

Pertanto,

[ G

-3\mu\omega R^3 \int_0^{2\pi}\int_0^\pi \sin^3\theta,d\theta,d\phi ]

Usando

[ \int_0^{2\pi}d\phi=2\pi \qquad\text{e}\qquad \int_0^\pi\sin^3\theta,d\theta=\frac{4}{3} ]

si ottiene

[ \boxed{G=-8\pi\mu\omega R^3} ]

L'intensità della coppia di resistenza rilevante a livello sperimentale è

[ \boxed{\lvert G\rvert=8\pi\mu\omega R^3} ]

Come viene utilizzata l'espressione nelle apparecchiature didattiche di viscosimetria

Conversione della coppia in viscosità

Un viscosimetro didattico utilizza un motore per far ruotare la sfera a una velocità angolare nota e misura la coppia necessaria per mantenere tale rotazione. Riorganizzando l'espressione teorica si ottiene

[ \boxed{\mu=\frac{\lvert G\rvert}{8\pi R^3\omega}} ]

Gli studenti possono quindi determinare la viscosità dinamica da tre quantità:

coppia di resistenza misurata, (G);
raggio della sfera, (R);
velocità angolare, (\omega).

Dimostrazione della viscosimetria rotazionale

L'attrezzatura rende misurabile il significato fisico della viscosità. Un fluido più viscoso produce una maggiore resistenza alla stessa velocità di rotazione, mentre l'aumento della velocità di rotazione produce una coppia viscosa proporzionalmente maggiore.

La relazione attesa è

[ \lvert G\rvert\propto\omega ]

Un grafico della coppia misurata rispetto alla velocità angolare dovrebbe quindi essere lineare entro l'intervallo operativo di flusso di Stokes. La sua pendenza è

[ \frac{\lvert G\rvert}{\omega}=8\pi\mu R^3 ]

che può essere utilizzata per calcolare la viscosità.

Collegare la teoria con le operazioni unitarie

In un laboratorio di operazioni unitarie, l'apparato illustra come le proprietà di trasporto vengano ottenute da misurazioni meccaniche controllate. Gli studenti collegano la derivazione della meccanica dei fluidi a una procedura operativa che coinvolge il controllo della velocità, la misurazione della coppia, la raccolta dei dati e il calcolo della viscosità.

L'esperimento mostra anche perché la geometria dell'attrezzatura è importante: la coppia dipende dal raggio della sfera attraverso (R^3), quindi il raggio deve essere noto con precisione.

Riduzione delle correzioni per interferenza delle pareti

L'espressione teorica descrive una sfera che ruota in un fluido effettivamente illimitato. Quando la sfera è sufficientemente separata dalle pareti del recipiente, la relazione ideale può essere applicata senza complesse correzioni per l'interferenza delle pareti.

Ciò rende la configurazione a sfera rotante utile per insegnare il principio fondamentale della misurazione della viscosità in una forma relativamente diretta.

Comprendere i compromessi

L'ipotesi di flusso di Stokes è essenziale

L'espressione è valida per (\mathrm{Re}\ll1). A numeri di Reynolds più elevati, gli effetti inerziali diventano significativi e la coppia potrebbe non variare più linearmente con la velocità angolare.

Di conseguenza, aumentare la velocità indefinitamente non preserva la calibrazione teorica.

La vicinanza alle pareti può alterare la coppia misurata

La derivazione presuppone che il fluido circostante si estenda sufficientemente lontano dalla sfera. Le pareti del recipiente vicine restringono il flusso e possono aumentare la coppia di resistenza misurata.

Se l'apparato non fornisce uno spazio adeguato, l'equazione ideale potrebbe sottostimare la viscosità reale a meno che non venga applicata una correzione.

La coppia include più del contributo del fluido ideale nella pratica

Uno strumento reale può misurare l'attrito meccanico, la resistenza dei cuscinetti o gli offset del sensore oltre alla coppia idrodinamica della sfera. Questi contributi dovrebbero essere identificati attraverso appropriate misurazioni di zero o di base, ove l'apparato lo consenta.

L'equazione teorica dovrebbe essere applicata alla coppia idrodinamica corretta.

La geometria e le condizioni operative devono rimanere controllate

La relazione presuppone una sfera di raggio noto che ruota costantemente in un fluido newtoniano uniforme. Cambiamenti nelle dimensioni della sfera, nella velocità, nella temperatura o nelle condizioni del fluido possono influenzare l'interpretazione della misurazione.

Ai fini didattici, queste variabili dovrebbero essere registrate e mantenute costanti o trattate esplicitamente durante l'analisi dei dati.

Applicazione della relazione in laboratorio

Il calcolo pratico segue direttamente dal risultato teorico:

[ \mu=\frac{\lvert G\rvert}{8\pi R^3\omega} ]

Se il tuo obiettivo principale è determinare la viscosità: Misura la coppia di resistenza costante a una velocità angolare nota e calcola (\mu) usando (\lvert G\rvert/(8\pi R^3\omega)).
Se il tuo obiettivo principale è convalidare la teoria: Misura la coppia su diversi punti operativi a bassa velocità e verifica se la relazione coppia-velocità è lineare.
Se il tuo obiettivo principale è insegnare i limiti sperimentali: Confronta la previsione ideale con le misurazioni considerando il numero di Reynolds, la vicinanza alle pareti, l'attrito meccanico e la temperatura.
Se il tuo obiettivo principale è la calibrazione dell'attrezzatura: Usa un fluido a viscosità nota per verificare la risposta della coppia e identificare eventuali coppie di base o deviazioni sistematiche.

L'esperimento della sfera rotante trasforma la legge della coppia di Stokes in un metodo diretto e didattico per misurare la viscosità e valutare le ipotesi alla base della strumentazione per le operazioni unitarie.

Tabella riassuntiva:

Aspetto chiave	Riepilogo
Espressione della coppia	(G=-8\pi\mu\omega R^3)
Intensità della coppia	(\lvert G\rvert=8\pi\mu\omega R^3)
Calcolo della viscosità	(\mu=\lvert G\rvert/(8\pi R^3\omega))
Validità	Flusso di Stokes con (\mathrm{Re}\ll1)
Andamento atteso	La coppia di resistenza aumenta linearmente con la velocità angolare
Variabili principali	Coppia, raggio della sfera, velocità angolare, temperatura e condizioni del fluido
Considerazioni pratiche	Tenere conto degli effetti parete, attrito meccanico, offset del sensore e calibrazione

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