I fluidi newtoniani utilizzano una legge di sforzo lineare a viscosità costante, mentre i fluidi non newtoniani richiedono un modello costitutivo in cui lo sforzo dipende dalla storia della deformazione, dalla velocità di deformazione o da entrambi. Per un fluido newtoniano incomprimibile, il tensore dello sforzo viscoso è (\boldsymbol{\tau}=2\mu\boldsymbol{\Gamma}=\mu[\nabla\mathbf{v}+(\nabla\mathbf{v})^T]), con viscosità dinamica costante (\mu). Negli impianti pilota, i fluidi non newtoniani utilizzano invece una viscosità apparente dipendente dalla velocità, una relazione di sforzo di snervamento o un'equazione dello sforzo viscoelastico, modificando le previsioni per le perdite di carico, il carico della pompa, la potenza di miscelazione e lo scale-up.

La differenza centrale è la chiusura dello sforzo: la viscosità newtoniana è costante e produce un problema di trasporto della quantità di moto lineare, mentre le equazioni costitutive non newtoniane fanno dipendere lo sforzo dal taglio locale, dalla struttura del materiale o dalla storia della deformazione.

Perché l'equazione costitutiva è importante

Sforzo e pressione descrivono effetti diversi

Lo sforzo totale è comunemente separato in pressione isotropa e sforzo viscoso deviatorico. La pressione contribuisce alla prevalenza statica e ai valori nominali di pressione, mentre lo sforzo viscoso governa l'attrito, la coppia, la dissipazione di energia e le forze legate alla deformazione.

Questa distinzione è importante negli impianti pilota perché aumentare la pressione del sistema non aumenta necessariamente la resistenza viscosa. La resistenza dipende principalmente dai gradienti di velocità e dal comportamento costitutivo del fluido.

Il tensore degli sforzi chiude l'equazione della quantità di moto

Entrambe le classi di fluidi utilizzano il bilancio della quantità di moto

[ \rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt}

-\nabla P+\nabla\cdot\boldsymbol{\tau}+\rho\mathbf{g}. ]

L'equazione della quantità di moto in sé non viene sostituita per un fluido non newtoniano. L'equazione costitutiva per (\boldsymbol{\tau}) cambia, e tale cambiamento rende il problema di flusso complessivo non lineare o dipendente dalla storia.

Comportamento costitutivo newtoniano

La viscosità costante produce una relazione lineare

Per un fluido newtoniano incomprimibile,

[ \boldsymbol{\tau}=2\mu\boldsymbol{\Gamma}, ]

dove

[ \boldsymbol{\Gamma}

\frac{1}{2} \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right]. ]

La viscosità (\mu) può dipendere dalla temperatura, dalla pressione o dalla composizione, ma a uno stato specificato non dipende dalla velocità di taglio locale.

I calcoli per l'impianto pilota sono relativamente diretti

Acqua, soluzioni acquose diluite, oli leggeri e molti gas possono spesso essere modellati utilizzando questa relazione. Le perdite di carico nei tubi, i profili di velocità, i numeri di Reynolds e i requisiti delle pompe possono quindi essere calcolati utilizzando correlazioni newtoniane consolidate.

Per un fluido newtoniano, il numero di Reynolds è tipicamente scritto come

[ Re=\frac{\rho U L}{\mu} ]

per il flusso nei tubi, o

[ Re=\frac{\rho N D^2}{\mu} ]

per la miscelazione in serbatoi agitati, dove (U) e (L) rappresentano la velocità e la lunghezza caratteristiche del flusso, e (N) e (D) rappresentano la velocità e il diametro della girante.

Le principali variabili ingegneristiche sono le condizioni di stato

Sebbene la legge costitutiva sia semplice, la viscosità può variare significativamente con la temperatura o la concentrazione. Le misurazioni dell'impianto pilota dovrebbero quindi utilizzare la viscosità corrispondente alle condizioni operative effettive piuttosto che un valore di catalogo misurato in uno stato diverso.

Comportamento costitutivo non newtoniano

La viscosità apparente dipende dalla velocità di deformazione

Per molti fluidi non newtoniani indipendenti dal tempo, lo sforzo può essere scritto in una forma newtoniana generalizzata:

[ \boldsymbol{\tau}=2\mu_a(\dot{\gamma})\boldsymbol{\Gamma}, ]

dove (\mu_a) è la viscosità apparente e (\dot{\gamma}) è una misura scalare della velocità di deformazione.

Una scelta comune è

[ \dot{\gamma}=\sqrt{2\boldsymbol{\Gamma}:\boldsymbol{\Gamma}}. ]

Poiché (\mu_a) cambia con (\dot{\gamma}), lo sforzo non è più linearmente proporzionale al tensore della velocità di deformazione.

I fluidi a legge di potenza modellano il comportamento pseudoplastico e dilatante

Il modello a legge di potenza è spesso espresso come

[ \boldsymbol{\tau}

2m\dot{\gamma}^{,n-1}\boldsymbol{\Gamma}, ]

o equivalentemente,

[ \mu_a=m\dot{\gamma}^{,n-1}. ]

Qui, (m) è l'indice di consistenza e (n) è l'indice di comportamento al flusso.

(n<1): comportamento pseudoplastico (shear-thinning), in cui la viscosità apparente diminuisce all'aumentare della velocità di taglio.
(n=1): comportamento simile a quello newtoniano all'interno del modello.
(n>1): comportamento dilatante (shear-thickening), in cui la viscosità apparente aumenta con la velocità di taglio.

Brodi di fermentazione, soluzioni polimeriche, emulsioni e sospensioni concentrate possono mostrare questi comportamenti nell'intervallo operativo di un'unità pilota.

I fluidi con sforzo di snervamento richiedono un modello di soglia

Alcuni materiali si comportano come se non scorressero finché lo sforzo applicato non supera uno sforzo di snervamento (\tau_0). Una relazione di Bingham-plastica è

[ \boldsymbol{\tau}

2\left(\mu_p+\frac{\tau_0}{\dot{\gamma}}\right)\boldsymbol{\Gamma}, ]

quando (\tau>\tau_0), dove (\mu_p) è la viscosità plastica.

Al di sotto dello sforzo di snervamento, il modello idealizzato prevede una regione non snervata con deformazione trascurabile. Modelli più avanzati, come quello di Herschel-Bulkley, combinano lo sforzo di snervamento con il comportamento a legge di potenza:

[ \tau=\tau_0+m\dot{\gamma}^{,n}. ]

Questo comportamento influenza la pressione di avviamento, le zone morte, lo svuotamento, la stabilità della sospensione e la capacità di una pompa o di un agitatore di avviare il movimento di massa.

I fluidi viscoelastici richiedono equazioni di evoluzione dello sforzo

Alcuni fluidi non newtoniani non possono essere descritti adeguatamente solo dalla viscosità istantanea. Le soluzioni polimeriche, i polimeri fusi e alcuni fluidi biologici possono immagazzinare energia elastica e mostrare rilassamento dello sforzo, differenze di sforzo normale ed effetti di memoria.

Questi fluidi richiedono un'equazione di evoluzione separata per lo sforzo, come un modello costitutivo viscoelastico appropriato. Lo sforzo dipende quindi dalla storia della deformazione del materiale, non solo dalla sua attuale velocità di deformazione.

Conseguenze per le operazioni dell'impianto pilota

Pompaggio e previsione delle perdite di carico

Per i fluidi newtoniani, la perdita di carico è principalmente correlata alla densità, alla viscosità costante, alla portata, alla geometria e al regime di flusso. Le correlazioni standard del fattore di attrito sono spesso sufficienti entro il loro intervallo di validità.

Per i fluidi non newtoniani, la viscosità rilevante cambia con la velocità di taglio locale. Le regioni vicino alle pareti dei tubi, i raccordi, le valvole e i passaggi delle pompe possono quindi sperimentare viscosità apparenti diverse, rendendo la previsione della perdita di carico dipendente dall'intero campo di velocità.

Selezione della pompa e comportamento all'avviamento

I fluidi pseudoplastici possono diventare più facili da trasportare ad alte velocità di taglio, sebbene la pompa debba comunque gestire la viscosità incontrata all'avviamento e nelle regioni a basso taglio. I fluidi dilatanti possono imporre carichi in rapido aumento e possono destabilizzare o sovraccaricare una pompa.

I materiali con sforzo di snervamento spesso favoriscono apparecchiature in grado di generare una coppia o una pressione di avviamento sufficienti. Le pompe a spostamento positivo possono essere adatte per l'erogazione controllata di materiali viscosi, mentre le pompe centrifughe possono essere efficaci quando la viscosità e le condizioni di aspirazione rimangono entro il loro inviluppo operativo.

Potenza di miscelazione e progettazione della girante

Per i fluidi newtoniani, la potenza della girante è comunemente correlata utilizzando un numero di Reynolds newtoniano e un numero di potenza. La relazione tra velocità, diametro, densità, viscosità e potenza è relativamente standardizzata.

Per i fluidi non newtoniani, il taglio locale varia in tutto il serbatoio. Gli ingegneri spesso stimano una velocità di taglio di miscelazione rappresentativa utilizzando una correlazione come l'approccio di Metzner-Otto, quindi valutano la viscosità apparente a quella velocità:

[ \dot{\gamma}_{\text{avg}}\approx K_sN. ]

La viscosità apparente risultante può essere utilizzata in un numero di Reynolds di miscelazione efficace:

[ Re_{\text{mix}}

\frac{\rho N D^2}{\mu_a}. ]

Questa è un'approssimazione ingegneristica, non un sostituto universale per una soluzione di flusso completa.

Lo scale-up richiede similarità reologica

La sola corrispondenza della velocità della girante o della scala geometrica non garantisce una miscelazione equivalente. I sistemi pilota e di produzione dovrebbero essere confrontati utilizzando il modello reologico rilevante, la temperatura operativa, la concentrazione, l'intervallo di velocità di taglio e i gruppi adimensionali.

Per i materiali biologici sensibili al taglio, l'obiettivo può includere anche la limitazione dello sforzo locale o della dissipazione di energia piuttosto che la massimizzazione dell'intensità di miscelazione. Un design che corrisponde all'input di potenza medio può comunque creare zone ad alto taglio dannose vicino a una girante o a una valvola.

Anche la separazione e il trasferimento di calore sono influenzati

La viscosità influenza la sedimentazione, la filtrazione, la centrifugazione e la distribuzione del flusso attraverso gli scambiatori di calore. Il comportamento non newtoniano può creare regioni stagnanti o debolmente miscelate, modificando le distribuzioni dei tempi di residenza e riducendo le prestazioni effettive di trasferimento di calore.

Questi effetti diventano particolarmente importanti quando la struttura del fluido cambia durante la lavorazione, come attraverso la flocculazione, la crescita cellulare, la polimerizzazione o il carico di solidi.

Comprendere i compromessi

I modelli di viscosità apparente sono utili ma limitati

Un modello newtoniano generalizzato è computazionalmente più semplice di un modello viscoelastico ed è spesso adeguato per calcoli di trasporto e miscelazione stazionari. Tuttavia, non può rappresentare il ritorno elastico, il rilassamento dello sforzo o le differenze di sforzo normale.

L'utilizzo di un singolo valore di viscosità per un fluido fortemente dipendente dal taglio può produrre previsioni fuorvianti su pompa, perdita di carico e miscelazione.

Una velocità di taglio rappresentativa può nascondere estremi locali

Il metodo di Metzner-Otto e correlazioni simili forniscono una velocità di taglio media o efficace. Sono utili per i calcoli di scale-up, ma non risolvono l'ampia distribuzione delle velocità di taglio in un serbatoio agitato.

Le regioni locali possono sperimentare un taglio molto più alto o più basso della media selezionata. Questo è importante per il danno cellulare, l'aggregazione, la cinetica di reazione e le regioni che rimangono scarsamente miscelate.

I dati reologici devono coprire l'intervallo operativo

Un modello a legge di potenza o di sforzo di snervamento adattato è affidabile solo nell'intervallo di velocità di taglio, temperatura e composizione utilizzato per ottenere i suoi parametri. L'estrapolazione oltre tale intervallo può essere particolarmente rischiosa in condizioni di avviamento, arresto, pulizia e anomalie.

Le misurazioni dell'impianto pilota dovrebbero tenere conto della dipendenza dal tempo quando la struttura del materiale si evolve. La tixotropia e la reopessia richiedono modelli che includano il recupero o la rottura strutturale nel tempo, non solo la dipendenza istantanea dalla velocità di taglio.

La simulazione non newtoniana aumenta la complessità del modello e numerica

La viscosità dipendente dalla velocità crea equazioni della quantità di moto non lineari, mentre le superfici di snervamento e gli sforzi viscoelastici possono introdurre ulteriori sfide di convergenza e risoluzione. Il modello costitutivo deve essere implementato con condizioni al contorno adeguate e convalidato rispetto ai dati misurati di perdita di carico, coppia o velocità.

Una modellazione più complessa è giustificata quando la reologia influisce materialmente sul dimensionamento delle apparecchiature, sulla qualità del prodotto, sulla vitalità biologica o sulla sicurezza del processo.

Fare la scelta giusta per il tuo obiettivo

L'equazione costitutiva appropriata dovrebbe riflettere sia la reologia misurata del fluido che la domanda operativa posta.

Se il tuo obiettivo principale è il trasporto newtoniano nei tubi: Usa la legge dello sforzo a viscosità costante e le correlazioni standard per perdita di carico, numero di Reynolds e pompa, con viscosità corretta per temperatura e composizione.
Se il tuo obiettivo principale è il flusso pseudoplastico o dilatante: Usa un modello newtoniano generalizzato come il modello a legge di potenza e valuta la viscosità apparente sull'intervallo di velocità di taglio locale o rappresentativo pertinente.
Se il tuo obiettivo principale è l'avviamento, la stabilità della sospensione o le regioni stagnanti: Includi un modello di sforzo di snervamento e valuta sia le zone snervate che quelle non snervate.
Se il tuo obiettivo principale è il comportamento polimerico o fortemente elastico: Usa un'equazione costitutiva viscoelastica che catturi la storia dello sforzo, il rilassamento e gli effetti dello sforzo normale.
Se il tuo obiettivo principale è lo scale-up da pilota a produzione: Abbina la geometria, le condizioni operative, il comportamento reologico e i gruppi adimensionali che governano il trasferimento della quantità di moto piuttosto che abbinare solo la velocità della girante.

Una modellazione costitutiva accurata collega il comportamento misurato del fluido a decisioni affidabili su pompe, miscelatori, tubazioni, apparecchiature di separazione e scale-up dell'impianto pilota.

Tabella riassuntiva:

Comportamento del fluido	Modello costitutivo	Impatto chiave sulla progettazione
Newtoniano	Legge di sforzo lineare a viscosità costante	Calcoli diretti di perdita di carico, numero di Reynolds e pompa
Pseudoplastico (shear-thinning)	Modello a legge di potenza o newtoniano generalizzato con viscosità apparente decrescente	Minore resistenza ad alto taglio, ma possibili zone a basso taglio
Dilatante (shear-thickening)	Modello a legge di potenza con viscosità apparente crescente	Carichi della pompa più elevati e possibile instabilità del flusso
Sforzo di snervamento	Modello di Bingham o Herschel-Bulkley	Coppia di avviamento, zone non snervate, zone morte e stabilità della sospensione
Viscoelastico	Equazione di evoluzione dello sforzo con effetti di memoria	Rilassamento dello sforzo, sforzi normali, effetti elastici e scale-up complesso
Dipendente dal tempo	Modello tixotropico o reopettico	Recupero o rottura strutturale durante avviamento, operazione e arresto

Hai bisogno di progetti di impianti pilota affidabili per fluidi complessi? Contatta LABPARK per discutere la tua applicazione. LABPARK fornisce impianti pilota per operazioni unitarie educative e professionali per ingegneria chimica, bioprocessi e biotecnologie, e applicazioni di trattamento ambientale e idrico. I nostri sistemi aiutano università, istituti di ricerca e aziende a valutare i requisiti di pompaggio, miscelazione, trasferimento di calore, separazione, reologia e scale-up in condizioni operative realistiche. Collabora con il nostro team per selezionare le apparecchiature che corrispondono al comportamento del tuo fluido, agli obiettivi di processo e alle esigenze di formazione o ricerca, aiutandoti a migliorare l'accuratezza sperimentale, il dimensionamento delle apparecchiature, la sicurezza del processo e le decisioni da pilota a produzione.