Il bilancio dinamico di massa viene linearizzato sostituendo la relazione non lineare di equilibrio vapore-liquido con la sua forma lineare locale e raccogliendo quindi i termini di composizione. Per lo stadio (n), il bilancio del componente nella fase liquida è

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}-Lx_n+Vy_{n+1}-Vy_n. ]

Se la relazione di equilibrio viene approssimata localmente come (y_i=m_i x_i), con pendenza costante (m_i), l'equazione dello stadio diventa un'equazione differenziale lineare accoppiata agli stadi adiacenti. Questa forma è alla base della derivazione delle funzioni di trasferimento, dello studio della propagazione dei disturbi e della progettazione dei sistemi di controllo della composizione per gli impianti pilota di assorbimento e distillazione.

Concetto chiave: La linearizzazione converte il bilancio dello stadio in un modello dinamico del primo ordine, considerando costanti l'inventario, le portate e la pendenza locale dell'equilibrio. Il modello risultante è generalmente un insieme accoppiato di equazioni del primo ordine, non un'equazione indipendente per ogni stadio, perché ogni stadio scambia materia con gli stadi adiacenti.

Impostazione del bilancio dinamico dello stadio

Accumulo del componente nella fase liquida

Per un inventario liquido costante (H_n), l'accumulo del componente assorbito o distillato sullo stadio (n) è

[ H_n\frac{dx_n}{dt}. ]

Qui, (x_n) è la frazione molare nella fase liquida del componente sullo stadio (n). Le unità devono essere coerenti: se (H_n) è un inventario molare, (L) e (V) devono essere portate molari.

Contributi delle correnti

La corrente liquida che entra nello stadio (n) contribuisce con (Lx_{n-1}), mentre la corrente liquida in uscita contribuisce con (Lx_n).

La corrente di vapore che entra dallo stadio adiacente contribuisce con (Vy_{n+1}), mentre il vapore che lascia lo stadio (n) rimuove (Vy_n). Pertanto,

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}-Lx_n+Vy_{n+1}-Vy_n. ]

Questo bilancio presuppone (L) costante, (V) costante, inventario costante, assenza di reazione e accumulo trascurabile nella fase vapore.

Applicazione dell'approssimazione dell'equilibrio locale

Relazione lineare di equilibrio

Le composizioni del vapore e del liquido sono correlate dalla funzione di equilibrio

[ y=f(x). ]

Attorno a un punto operativo selezionato, questa relazione può essere approssimata come

[ y_i \approx y_{i,0}+m_i(x_i-x_{i,0}), ]

dove

[ m_i=\left.\frac{dy}{dx}\right|{x{i,0}}. ]

Per un modello semplificato con pendenza costante della linea di equilibrio e composizioni misurate rispetto al punto operativo, ciò si riduce a

[ y_i=m x_i. ]

La pendenza (m) può rappresentare una relazione locale di volatilità o una relazione di tipo legge di Henry, a seconda del sistema.

Sostituzione nel bilancio dello stadio

Utilizzando (y_n=mx_n) e (y_{n+1}=mx_{n+1}),

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}-Lx_n+mVx_{n+1}-mVx_n. ]

Raccogliendo i termini che coinvolgono (x_n) si ottiene

[ \boxed{ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}

(L+mV)x_n + mVx_{n+1} } ]

oppure, dividendo per l'inventario,

[ \boxed{ \frac{dx_n}{dt}

\frac{L}{H_n}x_{n-1}

\frac{L+mV}{H_n}x_n + \frac{mV}{H_n}x_{n+1} }. ]

Questa è l'equazione dinamica linearizzata standard per uno stadio ideale di equilibrio in condizioni di portata costante.

Che cosa significa “linearizzato” in questo modello

Linearizzazione della relazione di equilibrio

La relazione di equilibrio originale può essere non lineare, in particolare nei sistemi di distillazione con variazioni significative della volatilità relativa. La linearizzazione sostituisce tale relazione non lineare con la sua tangente vicino al punto operativo stazionario selezionato.

L'approssimazione è affidabile per variazioni relativamente piccole della composizione attorno a quel punto. Disturbi di grande entità possono richiedere la relazione completa non lineare di equilibrio vapore-liquido.

Linearizzazione del bilancio di materia

Il bilancio di materia è già lineare in (x) quando (H), (L) e (V) sono costanti. Ulteriori non linearità si presentano quando queste quantità variano con la composizione, la temperatura, la pressione, il livello o la portata totale.

Per un modello più generale, si scrive

[ H_n(x_n)\frac{dx_n}{dt}

L(x_{n-1}-x_n) + V(y_{n+1}-y_n), ]

quindi si espande il modello attorno a uno stato stazionario:

[ x_i=x_{i,0}+\delta x_i, \qquad y_i=y_{i,0}+\delta y_i. ]

La perturbazione dell'equilibrio viene approssimata come

[ \delta y_i=m_i\delta x_i. ]

Il modello perturbato risultante ha la stessa struttura dell'equazione evidenziata, ma i suoi coefficienti sono valutati nel punto operativo.

Correzione importante dell'indicizzazione

La composizione del vapore adiacente deve essere mantenuta

Un errore frequente di indicizzazione consiste nel sostituire (y_{n+1}=mx_{n-1}). Nella consueta numerazione degli stadi in controcorrente, il vapore che entra nello stadio (n) è (y_{n+1}), correlato alla composizione del liquido sullo stadio (n+1):

[ y_{n+1}=mx_{n+1}. ]

Pertanto, l'equazione correttamente indicizzata è

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}

(L+mV)x_n + mVx_{n+1}. ]

L'espressione

[ H\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}-(L+mV)x_n+mVx_{n-1} ]

è valida solo se la variabile indicata con (x_{n-1}) è stata definita deliberatamente come la composizione equivalente del liquido a monte del vapore in ingresso. Non corrisponde alla consueta sostituzione dell'equilibrio indicizzata per stadio.

Perché la distinzione è importante

Mantenere (x_{n+1}) produce un modello accoppiato della colonna. La composizione su uno stadio risponde a entrambi gli stadi adiacenti, aspetto essenziale per rappresentare la propagazione dei disturbi attraverso una colonna a piatti o una colonna a riempimento discretizzata.

Sostituire il termine dello stadio adiacente con la stessa variabile a monte può produrre un modello a stadio singolo più semplice, ma modifica la connettività fisica e può fornire previsioni dinamiche errate.

Dalle equazioni degli stadi alle funzioni di trasferimento

Forma nel dominio di Laplace

Assumendo perturbazioni iniziali nulle e coefficienti costanti, la trasformata di Laplace fornisce

[ H_n sX_n(s)

LX_{n-1}(s)

(L+mV)X_n(s) + mVX_{n+1}(s). ]

Riordinando,

[ \boxed{ \left[H_n s+(L+mV)\right]X_n(s)

LX_{n-1}(s)+mVX_{n+1}(s) }. ]

Questa equazione costituisce una riga del modello dinamico della colonna, espresso tramite funzione di trasferimento o spazio di stato.

Approssimazione a stadio singolo

Se la composizione del vapore in ingresso viene trattata come un ingresso noto invece che come uno stato correlato a (x_{n+1}), si definisce

[ u_n=Lx_{n-1}+Vy_{n+1}. ]

Il bilancio diventa

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

u_n-(L+mV)x_n. ]

La funzione di trasferimento corrispondente è

[ \boxed{ \frac{X_n(s)}{U_n(s)}

\frac{1}{H_n s+L+mV} } ]

con costante di tempo

[ \boxed{ \tau_n=\frac{H_n}{L+mV} }. ]

Se l'ingresso è soltanto la composizione del liquido a monte e il contributo del vapore viene trascurato o incorporato separatamente, allora

[ \frac{X_n(s)}{X_{n-1}(s)}

\frac{L}{H_n s+L+mV}. ]

Applicazione all'assorbimento e alla distillazione

Assorbimento gas-liquido

Nell'assorbimento, il soluto passa generalmente dalla fase gassosa alla fase liquida quando la composizione effettiva del gas supera il suo valore di equilibrio:

[ y>y^*(x). ]

La pendenza dell'equilibrio (m) descrive come varia la composizione del gas all'equilibrio al variare della composizione del liquido. Un termine (mV) maggiore aumenta l'intensità dell'accoppiamento nella fase vapore e modifica la risposta dello stadio.

Per le colonne di assorbimento a riempimento, lo stesso concetto viene spesso espresso come modello differenziale distribuito anziché come bilanci discreti sui piatti. Una discretizzazione a volumi finiti produce equazioni simili a quelle degli stadi, con inventario e accoppiamento tra celle adiacenti.

Distillazione

Nella distillazione, la relazione di equilibrio è comunemente rappresentata da

[ y_i=y^*(x_i), ]

dove (y^*(x)) può essere non lineare. Attorno a una composizione operativa,

[ \delta y_i \approx \left.\frac{dy^*}{dx}\right|{x{i,0}}\delta x_i. ]

La pendenza locale può variare da uno stadio all'altro, pertanto una colonna di distillazione presenta solitamente coefficienti (m_n), (L_n), (V_n) e (H_n) anziché un unico valore universale di (m), (L) e (V).

Condizioni al contorno

Le equazioni degli stadi interni non sono sufficienti da sole. Il condensatore, il ribollitore, lo stadio di alimentazione, la corrente di riflusso, la corrente di distillato, la corrente di fondo e le estremità della colonna forniscono le condizioni al contorno e le relazioni con le variabili manipolate.

Ad esempio, il riflusso modifica la portata liquida che entra negli stadi superiori, mentre l'ebollizione modifica la portata di vapore che entra negli stadi inferiori. Questi effetti al contorno sono spesso i percorsi dominanti per i disturbi di controllo.

Estensione del modello a inventario e portata variabili

Bilancio di massa totale

Quando il livello o l'inventario liquido varia, è necessario includere un bilancio totale. Un bilancio generale dell'inventario liquido è

[ \frac{dH_n}{dt}

L_{n-1}-L_n+V_{n+1}-V_n, ]

con segni e definizioni delle correnti adattati alla convenzione di stadio selezionata.

Il bilancio del componente deve quindi essere scritto in termini di inventario del componente:

[ \frac{d(H_nx_n)}{dt}

\text{componente in ingresso}

\text{componente in uscita}. ]

Sviluppando la derivata si ottiene

[ H_n\frac{dx_n}{dt} + x_n\frac{dH_n}{dt}

\text{componente in ingresso}

\text{componente in uscita}. ]

Il termine aggiuntivo (x_n,dH_n/dt) è importante quando i livelli di liquido sui piatti o gli inventari del ribollitore e del condensatore variano in modo significativo.

Effetti dell'energia e della pressione

Per modelli accurati di impianti pilota, la temperatura influenza sia l'equilibrio sia le portate. La pressione influenza la composizione del vapore, le condizioni di saturazione e la portata volumetrica.

Una linearizzazione basata esclusivamente sulla composizione è quindi appropriata soprattutto per disturbi moderati attorno a un punto operativo a temperatura e pressione fisse. Variazioni operative più ampie richiedono equazioni accoppiate di bilancio di massa, energia e pressione.

Comprendere i compromessi

Vantaggi del modello linearizzato

Il modello linearizzato è compatto, efficiente dal punto di vista computazionale e adatto all'analisi tramite funzioni di trasferimento. Fornisce informazioni dirette sulle costanti di tempo, sull'accoppiamento tra stadi, sull'attenuazione dei disturbi e sulla controllabilità.

È particolarmente utile per la taratura dei controllori e per gli esperimenti didattici su impianti pilota nei quali la colonna opera vicino a una condizione nominale stabile.

Limiti della pendenza di equilibrio costante

Un singolo valore di (m) può essere inadeguato quando la volatilità relativa varia significativamente con la composizione o la temperatura. L'approssimazione può inoltre fallire in prossimità di azeotropi, miscele fortemente non ideali o intervalli operativi ampi.

Per questi sistemi, utilizzare pendenze locali specifiche per stadio oppure mantenere la funzione di equilibrio non lineare.

Limiti della portata e dell'inventario costanti

Assumere (L), (V) e (H) costanti esclude le dinamiche del livello e gli effetti idraulici. Ciò può portare a previsioni troppo ottimistiche della velocità di risposta e può nascondere importanti interazioni tra controllo della portata, della pressione e della composizione.

Gli impianti pilota dovrebbero utilizzare inventari misurati o modellati indipendentemente quando sono possibili flooding dei piatti, weeping, formazione di schiuma o variazioni significative del livello del liquido.

Confondere le linee operative con i bilanci dinamici

La linea operativa descrive una relazione di bilancio stazionario della materia tra le composizioni delle fasi. Da sola non descrive come le composizioni evolvano nel tempo.

Il modello dinamico richiede termini di inventario come (H,dx/dt). Rimuovendo tali termini si converte il modello in una relazione stazionaria anziché transitoria.

Scelta appropriata in base all'obiettivo

Il modello appropriato dipende dal fatto che l'obiettivo sia la progettazione del controllo, l'analisi concettuale o la previsione ad alta fedeltà del comportamento dell'impianto pilota.

Se l'obiettivo principale è la progettazione del controllore: Linearizzare (y^*(x)) attorno al punto operativo previsto, mantenere l'accoppiamento tra gli stadi adiacenti e assemblare le equazioni in forma di spazio di stato.
Se l'obiettivo principale è una semplice risposta a stadio singolo: Trattare la composizione del vapore in ingresso come un ingresso noto e utilizzare la funzione di trasferimento del primo ordine (1/[Hs+(L+mV)]).
Se l'obiettivo principale è la propagazione dei disturbi nell'intera colonna: Mantenere (x_{n-1}) e (x_{n+1}) in ogni equazione di stadio e applicare le corrette condizioni al contorno del condensatore, del ribollitore, dell'alimentazione, del riflusso e dei prodotti.
Se l'obiettivo principale è lo studio di transitori di grande entità nell'impianto pilota: Utilizzare l'equilibrio non lineare, l'inventario variabile, le portate variabili e i bilanci accoppiati di energia e pressione.

Un valido modello linearizzato della colonna preserva la connettività fisica tra gli stadi, semplificando al contempo il comportamento dell'equilibrio locale attorno a un punto operativo chiaramente definito.

Tabella riassuntiva:

Elemento chiave	Indicazione del modello linearizzato
Bilancio dinamico	`H_n dx_n/dt = Lx_{n-1} - Lx_n + Vy_{n+1} - Vy_n`
Approssimazione dell'equilibrio	Sostituire `y=f(x)` con `delta y=m delta x` vicino a un punto operativo stazionario
Equazione dello stadio accoppiato	`H_n dx_n/dt = Lx_{n-1} - (L+mV)x_n + mVx_{n+1}`
Ipotesi principali	Inventario costante, portate liquide e di vapore costanti e accumulo trascurabile nella fase vapore
Forma della funzione di trasferimento	`[H_n s + (L+mV)]X_n = LX_{n-1} + mVX_{n+1}`
Costante di tempo a stadio singolo	`tau_n = H_n/(L+mV)`
Punto critico sull'indicizzazione	Il termine del vapore in ingresso è correlato a `x_{n+1}`, preservando l'accoppiamento tra gli stadi adiacenti
Applicazioni principali	Taratura dei controllori, analisi dei disturbi, funzioni di trasferimento e modellazione in spazio di stato
Quando sono necessari modelli non lineari	Disturbi di grande entità, inventario o portata variabili, forte non idealità, variazioni di pressione o effetti energetici

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