La velocità terminale di sedimentazione è determinata bilanciando la forza di gravità netta della particella con la resistenza del fluido. Per una particella sferica nel regime a basso numero di Reynolds, ciò fornisce il risultato della legge di Stokes:

[ U_t=\frac{gD_p^2(\rho_p-\rho_f)}{18\mu} ]

dove (U_t) è la velocità terminale, (D_p) è il diametro della particella, (\rho_p) e (\rho_f) sono le densità della particella e del fluido, e (\mu) è la viscosità del fluido. In un impianto pilota, gli studenti solitamente calcolano questo valore, verificano il regime di flusso applicabile e lo confrontano con la velocità misurata in una colonna di sedimentazione o in un serbatoio di sedimentazione.

Il metodo fondamentale è il bilancio delle forze, ma la legge di Stokes è valida solo quando domina la resistenza viscosa. Per particelle più grandi o fluidi a viscosità inferiore, il coefficiente di resistenza dipende dal numero di Reynolds, quindi la velocità deve essere trovata selezionando o iterando il regime di resistenza appropriato.

Come il bilancio delle forze determina la velocità terminale

Forza di gravità netta o spinta di Archimede

Per una particella sferica che sedimenta attraverso un fluido, la forza di gravità verso il basso è contrastata dalla spinta di Archimede. La forza motrice risultante è

[ F_{\text{net}}=\frac{4}{3}\pi R^3g(\rho_p-\rho_f) ]

dove (R) è il raggio della particella.

Se (\rho_p>\rho_f), la particella sedimenta. Se (\rho_p<\rho_f), essa sale e la direzione della velocità è invertita.

Resistenza idrodinamica

Mentre la particella si muove, il fluido esercita una forza di resistenza che si oppone al suo moto. In condizioni di flusso di Stokes, la forza di resistenza su una sfera è

[ F_D=6\pi\mu R U_t ]

Alla velocità terminale, l'accelerazione è cessata perché la forza netta è zero:

[ F_{\text{net}}=F_D ]

Sostituendo le due espressioni delle forze si ottiene

[ \frac{4}{3}\pi R^3g(\rho_p-\rho_f)

6\pi\mu R U_t ]

e quindi

[ U_t=\frac{2}{9}\frac{R^2g(\rho_p-\rho_f)}{\mu} ]

Usando (D_p=2R), la stessa equazione diventa

[ \boxed{ U_t=\frac{gD_p^2(\rho_p-\rho_f)}{18\mu} } ]

Quando si applica la legge di Stokes

Basso numero di Reynolds della particella

Il numero di Reynolds della particella è

[ Re_p=\frac{\rho_f U_tD_p}{\mu} ]

Per numeri di Reynolds molto bassi, comunemente (Re_p<0,3) nel trattamento di laboratorio della sedimentazione, la resistenza viscosa segue fedelmente la legge di Stokes.

In questo regime, gli effetti inerziali sono trascurabili e la viscosità controlla la resistenza al moto.

Significato dell'equazione

Il risultato di Stokes mostra che la velocità terminale:

Aumenta con il quadrato del diametro della particella.
Aumenta linearmente con la differenza di densità.
Aumenta con l'accelerazione di gravità.
Diminuisce all'aumentare della viscosità del fluido.

Pertanto, raddoppiare il diametro della particella aumenta la velocità prevista di un fattore quattro, a condizione che la particella rimanga nel regime di Stokes.

Come gli esperimenti in impianto pilota determinano la velocità

Misurazione in colonna di sedimentazione

Una sospensione nota viene introdotta in una colonna di sedimentazione trasparente o in un recipiente di sedimentazione. La posizione della particella o dell'interfaccia viene registrata in funzione del tempo.

Una volta che la particella ha superato il periodo di accelerazione iniziale, la sua posizione cambia approssimativamente in modo lineare con il tempo. La pendenza di questa regione fornisce la velocità terminale misurata:

[ U_t \approx \frac{\Delta z}{\Delta t} ]

dove (\Delta z) è la distanza di sedimentazione misurata.

Confronto tra valori misurati e calcolati

Gli studenti solitamente calcolano (U_t) a partire dalla dimensione della particella, dalla densità, dalla viscosità e dalla gravità prima di condurre l'esperimento. La velocità misurata viene quindi confrontata con il valore teorico.

Le differenze possono derivare dalla distribuzione granulometrica, particelle non sferiche, effetti di parete, concentrazione della sospensione, agglomerazione, variazione di temperatura o mancato raggiungimento del moto terminale.

Stima delle prestazioni di separazione

La velocità terminale aiuta a determinare se una particella verrà rimossa entro il tempo di residenza disponibile:

[ t_s\approx\frac{H}{U_t} ]

dove (H) è la distanza di sedimentazione nelle condizioni idealizzate rilevanti.

Questa relazione supporta l'analisi preliminare di serbatoi di sedimentazione, chiarificatori, ispessitori e apparecchiature di chiarificazione cellulare.

Come viene selezionato il corretto regime di resistenza

La dipendenza circolare

Per condizioni al di fuori del regime di Stokes, la velocità terminale dipende dal coefficiente di resistenza. Il coefficiente di resistenza dipende dal numero di Reynolds, ma il numero di Reynolds stesso contiene la velocità terminale incognita:

[ Re_p=\frac{\rho_f U_tD_p}{\mu} ]

Di conseguenza, la velocità non può sempre essere calcolata direttamente da un'unica equazione esplicita.

Metodo del gruppo di attrito

Un comodo parametro di screening è

[ K

D_p \left[ \frac{\rho_f(\rho_p-\rho_f)g}{\mu^2} \right]^{1/3} ]

Il valore di (K) indica il probabile regime di sedimentazione:

(K<3,3): regime laminare o di Stokes
(3,3<K<43,6): regime di transizione o di Allen
(K>43,6): regime turbolento o di Newton

Questi confini sono utili linee guida didattiche, ma il regime finale dovrebbe essere confermato utilizzando il numero di Reynolds calcolato e la correlazione di resistenza utilizzata.

Procedura di prova e verifica

Un tipico calcolo in impianto pilota segue questa sequenza:

Specificare (D_p), (\rho_p), (\rho_f), (\mu) e (g).
Stimare il regime probabile utilizzando (K) o un'ipotesi iniziale sul numero di Reynolds.
Calcolare (U_t) con l'equazione di sedimentazione corrispondente.
Calcolare (Re_p) utilizzando tale velocità.
Verificare se il numero di Reynolds concorda con il regime assunto.
Ripetere con un'altra correlazione se l'ipotesi è incoerente.

Questa procedura è particolarmente importante per le particelle che si trovano nella regione di transizione.

Cosa insegna l'impianto pilota oltre l'equazione

Effetto delle proprietà del fluido

L'aumento della viscosità rallenta la sedimentazione perché il fluido offre una maggiore resistenza al movimento della particella. Aumentare la differenza di densità tra particella e fluido aumenta la forza motrice e quindi aumenta la velocità di sedimentazione.

La temperatura può influenzare notevolmente la viscosità, pertanto la temperatura del fluido deve essere registrata durante gli esperimenti.

Effetto della dimensione e della forma della particella

L'equazione ideale presuppone particelle sferiche con un diametro noto. I solidi reali possono essere irregolari, porosi o agglomerati.

Per le particelle non sferiche, la velocità di sedimentazione misurata è spesso inferiore a quella di una sfera di volume equivalente perché la resistenza effettiva è maggiore.

Sospensioni diluite contro concentrate

Il bilancio delle forze su una singola particella descrive la sedimentazione libera ostacolata, dove le particelle sono sufficientemente separate da non disturbarsi fortemente a vicenda.

A concentrazioni più elevate, le interazioni tra le particelle e lo spostamento del fluido alterano il comportamento di sedimentazione. La velocità dell'interfaccia misurata può quindi rappresentare una sedimentazione ostacolata o zonale piuttosto che la velocità terminale di una sfera isolata.

Comprendere i compromessi

La legge di Stokes è semplice ma limitata

La legge di Stokes è trasparente e molto utile per insegnare i bilanci delle forze, le tendenze di scala e il comportamento a basso numero di Reynolds. Diventa inaffidabile quando l'inerzia della particella è significativa o quando la sospensione è concentrata.

Utilizzarla automaticamente per ogni dimensione di particella può produrre tempi di sedimentazione e previsioni di separazione errati.

Le velocità teoriche e misurate possono differire

Un impianto pilota raramente si comporta come un fluido infinito e quiescente. Le pareti del recipiente, i disturbi all'ingresso, la turbolenza, il cortocircuito, la variazione della dimensione delle particelle e l'incertezza del campionamento possono influenzare il risultato.

Il valore sperimentale dovrebbe quindi essere interpretato come una proprietà dell'apparecchiatura e della condizione operativa specificate, non come una costante universale della particella.

La gravità non fornisce sempre l'accelerazione

Nella sedimentazione ordinaria, (g) è l'accelerazione di gravità. Nella centrifugazione, l'accelerazione effettiva è sostituita dall'accelerazione centrifuga locale.

Si applica lo stesso principio di bilancio delle forze, ma l'accelerazione può variare con la posizione radiale nell'apparecchiatura.

La separazione gas-liquido utilizza un trattamento pratico diverso

Per le goccioline di liquido che sedimentano attraverso un gas, i rapporti di densità e il comportamento della resistenza differiscono sostanzialmente dalla sedimentazione liquido-solido. La progettazione del separatore utilizza comunemente un fattore di resistenza o un coefficiente di resistenza legato al numero di Reynolds piuttosto che applicare indiscriminatamente l'equazione di Stokes liquido-solido.

Il principio guida rimane lo stesso: il peso corretto dalla spinta di Archimede è bilanciato dalla resistenza al moto terminale.

Come applicare tutto ciò al tuo esperimento in impianto pilota

Utilizza il seguente approccio in base allo scopo dell'esercitazione:

Se il tuo obiettivo principale è la teoria a basso numero di Reynolds: Applica il bilancio delle forze e usa (\displaystyle U_t=gD_p^2(\rho_p-\rho_f)/(18\mu)), quindi verifica che il (Re_p) risultante sia all'interno del range di Stokes.
Se il tuo obiettivo principale è la misurazione sperimentale: Determina la pendenza della posizione della particella o dell'interfaccia rispetto al tempo nella regione di sedimentazione terminale e confrontala con la velocità calcolata.
Se il tuo obiettivo principale è la progettazione dell'apparecchiatura: Usa la correlazione di resistenza appropriata, il tempo di residenza e la distanza di sedimentazione invece di fare affidamento sulla legge di Stokes senza controllare il regime di flusso.
Se il tuo obiettivo principale è lo scale-up: Registra la distribuzione granulometrica, la concentrazione, la temperatura, le proprietà del fluido e la geometria del recipiente, poiché queste determinano se il comportamento di laboratorio rappresenta l'operazione pilota o industriale.

Una determinazione affidabile della velocità terminale combina il bilancio delle forze, la verifica del regime e il confronto diretto con le misurazioni in impianto pilota.

Tabella riassuntiva:

Aspetto chiave	Punto principale
Principio guida	La velocità terminale si verifica quando il peso corretto dalla spinta di Archimede eguaglia la resistenza idrodinamica.
Legge di Stokes	`Ut = gDp²(rhop - rhof) / 18mu` per bassi numeri di Reynolds della particella.
Variabili chiave	Diametro della particella, differenza di densità, viscosità del fluido e gravità.
Verifica del regime	Calcolare `Rep` e confermare se si applica la resistenza di Stokes, di transizione o turbolenta.
Metodo sperimentale	Misurare la pendenza della posizione della particella o dell'interfaccia rispetto al tempo nella regione di sedimentazione terminale.
Uso nella separazione	Stimare il tempo di sedimentazione e valutare le prestazioni di serbatoi di sedimentazione, chiarificatori e ispessitori.
Fonti di errore	Forma della particella, distribuzione granulometrica, effetti di parete, concentrazione, temperatura e moto terminale incompleto.
Dati per lo scale-up	Registrare le proprietà della particella, la concentrazione della sospensione, le condizioni del fluido e la geometria del recipiente.

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