La differenza deriva da ciò che guida il flusso. Uno strato limite su parete solida si sviluppa solitamente sotto una velocità esterna prestabilita, quindi la diffusione viscosa produce uno spessore proporzionale a (\nu^{1/2}) per una distanza e una velocità di flusso fissate. Un getto libero non ha una velocità esterna imposta; la sua diffusione è governata dal flusso di quantità di moto conservato del getto (K), che fornisce una larghezza caratteristica a metà altezza proporzionale a (\nu^{2/3}x^{2/3}).
Uno strato limite su piastra piana è guidato dalla velocità, mentre un getto libero è guidato dalla quantità di moto. Cambiare il vincolo dominante modifica le scale di similitudine, quindi l'esponente della viscosità passa da (1/2) a (2/3).
Perché i due flussi hanno una scala diversa
Gli strati limite su parete solida hanno una scala di velocità imposta
Per un esperimento convenzionale su piastra piana, il fluido al di fuori dello strato limite si muove con una velocità nota (U_\infty). La parete impone la condizione di non scivolamento e la viscosità diffonde la quantità di moto verso l'esterno dalla parete.
Bilanciando la convezione lungo la corrente con la diffusione viscosa trasversale si ottiene la relazione approssimativa
[ \frac{U_\infty^2}{x} \sim \frac{\nu U_\infty}{\delta^2}. ]
Risolvendo per lo spessore dello strato limite si ottiene
[ \delta \sim \left(\frac{\nu x}{U_\infty}\right)^{1/2}. ]
Pertanto, con (x) e (U_\infty) fissati,
[ \delta \propto \nu^{1/2}. ]
La velocità esterna prescritta fornisce al flusso una scala di velocità fissa rispetto alla quale viene misurata la diffusione viscosa.
Un getto libero non ha una velocità di corrente esterna
Un getto libero si immette in un fluido circostante che è inizialmente a riposo o che si muove in modo diverso. Non c'è una parete solida che definisce uno strato limite convenzionale e nessuna (U_\infty) uniforme che rimanga fissa mentre il getto si sviluppa.
Il getto rallenta mentre trascina il fluido circostante, mentre la sua larghezza aumenta. La sua scala di velocità deve quindi essere determinata dalla distribuzione della quantità di moto del getto piuttosto che prescritta indipendentemente.
Il flusso costante di quantità di moto determina la scala del getto libero
Per un getto libero piano, il flusso di quantità di moto iniziale conservato può essere rappresentato da (K). Se (u) è una velocità caratteristica del getto e (y) è la sua larghezza caratteristica, la scala del flusso di quantità di moto è
[ K \sim u^2 y. ]
La scala di convezione a valle è approssimativamente (u^2/x), mentre la diffusione viscosa attraverso il getto scala come
[ \frac{\nu u}{y^2}. ]
Bilanciare questi effetti dà
[ \frac{u^2}{x} \sim \frac{\nu u}{y^2}. ]
Usando (u \sim (K/y)^{1/2}) e risolvendo per (y) si ottiene
[ y \sim \left(\frac{\nu^2}{K}\right)^{1/3}x^{2/3}. ]
Per la larghezza a metà altezza, la soluzione di similitudine dichiarata è
[ y_{0.5}
3.20 \left(\frac{\nu^2}{K}\right)^{1/3} x^{2/3}. ]
Pertanto,
[ y_{0.5}\propto \nu^{2/3}. ]
L'esponente di viscosità più elevato non significa che la viscosità agisca tramite un meccanismo fisico diverso. Significa che la viscosità interagisce con una velocità e una larghezza del getto variabili sotto un vincolo di quantità di moto costante.
Il ruolo delle condizioni al contorno
Le condizioni al contorno determinano le variabili di similitudine disponibili
L'analisi di similitudine richiede una scala di velocità o quantità di moto, una scala di lunghezza e le proprietà del materiale rilevanti. Per una piastra piana, (U_\infty), (x) e (\nu) forniscono tali scale.
Per un getto libero, (U_\infty) è assente. La quantità conservata (K) la sostituisce e la larghezza del getto diventa parte della soluzione incognita piuttosto che uno spessore geometrico fisso dello strato limite.
Questo cambia la combinazione dimensionale che può descrivere la diffusione. La scala di lunghezza del getto libero deve coinvolgere (\nu^2/K), la cui radice cubica produce la dipendenza (\nu^{2/3}).
La viscosità influenza sia la diffusione che la velocità del getto
Nello strato limite su piastra piana, la velocità esterna rimane approssimativamente fissa mentre la viscosità controlla la rapidità con cui la quantità di moto indotta dalla parete si diffonde verso l'esterno.
In un getto libero, la viscosità controlla la diffusione, ma la diffusione cambia anche la velocità locale necessaria per mantenere un flusso di quantità di moto costante. All'aumentare della larghezza, la velocità caratteristica diminuisce, quindi gli effetti non possono essere separati in "velocità fissa più diffusione" allo stesso modo.
Anche l'esponente di crescita in (x) cambia
Il risultato per la piastra piana ha la forma familiare
[ \delta \propto x^{1/2}. ]
Il risultato di similitudine per il getto libero dà
[ y_{0.5}\propto x^{2/3}. ]
Questa differenza è un'ulteriore indicazione che i flussi sono governati da diversi vincoli di similitudine. Un getto libero si diffonde mentre trascina il fluido ambiente, mentre uno strato limite su piastra piana cresce da una parete fissa sotto un flusso esterno.
Cosa dovrebbero osservare gli studenti in un impianto pilota
Gli esperimenti su piastra piana isolano la diffusione guidata dalla parete
In un'unità a piastra piana, gli studenti possono confrontare lo spessore dello strato limite misurato con
[ \delta \sim \left(\frac{\nu x}{U_\infty}\right)^{1/2}. ]
L'esperimento evidenzia la condizione di non scivolamento, lo sforzo di parete e la diffusione della quantità di moto lontano dalla superficie.
Gli esperimenti su getto libero rivelano trascinamento e decadimento
In un'unità a getto libero, gli studenti misurano il profilo di velocità in diverse posizioni a valle e identificano una larghezza caratteristica, come la larghezza a metà altezza (y_{0.5}).
La larghezza aumenta a valle mentre la velocità sulla linea centrale diminuisce. Queste osservazioni sono coerenti con il flusso di quantità di moto costante e la scala
[ y_{0.5}
3.20 \left(\frac{\nu^2}{K}\right)^{1/3} x^{2/3}. ]
L'esperimento collega la scala alla progettazione del processo
Questa distinzione è importante nelle apparecchiature di trasferimento termico e di massa. La diffusione di un getto determina quanto fluido entra in contatto con una superficie, quanto velocemente viene trasferita la quantità di moto e come variano i coefficienti di trasferimento di calore o massa locali con la posizione.
Il profilo misurato è quindi più di una dimostrazione di meccanica dei fluidi. Aiuta a prevedere le prestazioni in apparecchiature di impatto, essiccazione, riscaldamento e ventilazione.
Comprendere i compromessi
Un getto libero non è semplicemente uno "strato limite senza parete"
L'espressione strato limite di getto libero può essere utile descrittivamente, ma la fisica governante differisce da quella di uno strato limite a parete classico. Un getto libero contiene uno strato di taglio tra il getto e l'ambiente circostante, e il suo campo di velocità evolve attraverso trascinamento e decadimento.
Usare le formule della piastra piana per quel flusso può produrre una dipendenza errata dalla viscosità e dalla posizione a valle.
Un getto a parete è una configurazione separata
Un getto che scorre parallelamente a una superficie solida è un getto a parete piano, non un getto libero non confinato. La parete limita il trascinamento su un lato e cambia il comportamento di diffusione e la distribuzione della velocità.
Il parametro di snellezza è riportato come circa (0.033) per un getto libero e (0.021) per un getto a parete semi-libero. Il valore più basso riflette il ridotto trascinamento associato alla parete.
La diffusione transitoria a parete segue un'altra scala
Il primo problema di Stokes o Rayleigh descrive un fluido accelerato improvvisamente da una parete in movimento. Il suo spessore dello strato limite è
[ \delta = 3.6\sqrt{\nu t}, ]
quindi scala con (\nu^{1/2}), proprio come altri problemi a parete controllati dalla diffusione.
Ciò non contraddice il risultato del getto libero. Il problema di Stokes ha una velocità di parete prescritta e una diffusione dipendente dal tempo, mentre il getto libero ha un flusso di quantità di moto conservato e uno sviluppo spaziale a valle.
La legge di scala ha un campo operativo
La relazione del getto libero presuppone un regime di similitudine adatto, proprietà del fluido costanti e un flusso di quantità di moto che è effettivamente conservato. Vicino all'ugello, in condizioni fortemente turbolente, o quando pareti vicine e la geometria dell'apparecchiatura influenzano il flusso, il comportamento misurato può discostarsi dall'espressione ideale.
I dati dell'impianto pilota dovrebbero quindi essere utilizzati per verificare il regime prima di applicare la correlazione quantitativamente.
Come applicare questo al tuo progetto
La corretta legge di scala deriva dall'identificazione del vincolo di guida del flusso prima di selezionare una correlazione.
- Se il tuo obiettivo principale è uno strato limite su parete solida convenzionale: Usa una relazione guidata dalla velocità come (\delta \propto (\nu x/U_\infty)^{1/2}) e valuta gli effetti dello sforzo di parete e della velocità esterna.
- Se il tuo obiettivo principale è un getto libero non confinato: Usa il risultato di similitudine a quantità di moto costante (y_{0.5}=3.20(\nu^2/K)^{1/3}x^{2/3}) e misura sia la diffusione del getto che il decadimento della velocità.
- Se il tuo obiettivo principale è un getto parallelo a una superficie: Trattalo come un getto a parete, perché il trascinamento limitato dalla parete cambia il tasso di diffusione e i coefficienti di trasferimento.
- Se il tuo obiettivo principale è il flusso di avvio vicino a una parete che si muove improvvisamente: Applica la scala di diffusione transitoria (\delta=3.6\sqrt{\nu t}), insieme al relativo sforzo di parete dipendente dal tempo.
L'esponente della viscosità non è una proprietà della sola viscosità; è una conseguenza della viscosità che agisce all'interno di un particolare insieme di vincoli di flusso.
Tabella riassuntiva:
| Configurazione del flusso | Vincolo governante | Scala chiave | Focus impianto pilota |
|---|---|---|---|
| Strato limite su parete solida | Velocità esterna prescritta, U∞ | δ ∝ (νx/U∞)¹⁄² | Sforzo di parete e diffusione della quantità di moto |
| Getto libero non confinato | Flusso di quantità di moto conservato, K | y₀.₅ = 3.20(ν²/K)¹⁄³x²⁄³ | Diffusione del getto, trascinamento e decadimento della velocità |
| Getto a parete piano | Flusso di quantità di moto con trascinamento limitato dalla parete | Comportamento di diffusione diverso da un getto libero | Interazione superficiale e coefficienti di trasferimento |
| Parete in movimento improvviso | Velocità di parete prescritta e diffusione transitoria | δ = 3.6√(νt) | Flusso di avvio e sforzo di parete dipendente dal tempo |
| Limitazione pratica | Regime di similitudine, proprietà costanti, effetti geometrici minimi | Convalidare con profili misurati | Controllare ugello, turbolenza ed effetti di parete prima di applicare le correlazioni |
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