Le equazioni di bilancio di materia indipendenti si stabiliscono scrivendo un'equazione di conservazione per ogni specie o componente distinto e tracciato indipendentemente. Per un'operazione di separazione cellulare o miscelazione di gas a tre componenti, ciò fornisce tre bilanci di componente indipendenti, come i bilanci su cellule, terreno disciolto e un altro soluto, oppure su tre specie gassose. Si può anche scrivere un bilancio di massa o molare totale, ma esso rappresenta solo la somma di tali bilanci di componente e pertanto non fornisce un'equazione indipendente aggiuntiva.

Il numero di bilanci di materia indipendenti è determinato dal numero di componenti conservati distinti, non dal numero di correnti o dalla possibilità di scrivere ulteriori bilanci sommati. Questi bilanci devono essere combinati con le specifiche di processo e i vincoli delle correnti finché il numero di equazioni indipendenti non corrisponde al numero di incognite.

Iniziare con confini di sistema chiaramente definiti

Definire l'operazione unitaria

Tracciare un confine attorno allo specifico impianto o sezione di processo in analisi.

Per un sistema pilota di separazione cellulare, il confine potrebbe racchiudere una centrifuga, un separatore a membrana o un'unità di filtrazione. Per un sistema di miscelazione di gas, potrebbe racchiudere il collettore di miscelazione e includere ogni ingresso e l'uscita combinata.

Solo le correnti che attraversano tale confine appaiono nelle equazioni di bilancio.

Separare i bilanci globali e locali

Un bilancio globale attorno a un intero impianto pilota include le correnti esterne di alimentazione e prodotto, ma esclude le correnti interne che collegano le singole unità.

Un bilancio locale attorno a un separatore, miscelatore, giunzione o punto di divisione include solo le correnti che entrano ed escono da quel sottosistema. I bilanci locali sono spesso necessari per determinare le portate e le composizioni delle correnti interne.

Scegliere una base di calcolo

La base può essere un intervallo di tempo specificato, come un'ora di funzionamento continuo, o una quantità fissa di alimentazione.

Per il funzionamento in stato stazionario, l'accumulo è zero, quindi ogni bilancio di componente ha la forma generale:

[ \text{Ingresso componente}=\text{Uscita componente} ]

Per il funzionamento in transitorio, l'accumulo deve essere incluso:

[ \text{Ingresso}-\text{Uscita}=\text{Accumulo} ]

Scrivere un bilancio per ogni componente indipendente

Identificare i componenti conservati

Elencare le specie o le categorie di materiale le cui quantità devono essere tracciate indipendentemente.

Esempi includono:

Cellule, terreno e soluto disciolto in un processo di separazione cellulare
Ossigeno, azoto e anidride carbonica in un processo di miscelazione di gas
Solvente e soluto in un'operazione di diluizione o concentrazione

Le categorie devono essere abbastanza distinte da non poter calcolare la quantità di una solo a partire dalle quantità delle altre.

Utilizzare le portate di componente come variabili

Per la corrente (s) e il componente (i), definire una portata di componente come:

[ F_{i,s} ]

Il bilancio per il componente (i) attraverso un'unità a stato stazionario è:

[ \sum_{\text{ingressi}} F_{i,s}

\sum_{\text{uscite}} F_{i,s} ]

Scrivere i bilanci in termini di portate di componente mantiene le equazioni lineari quando le relazioni di processo sono lineari.

Esempio: Separatore a tre componenti

Supponiamo che un separatore riceva una corrente di alimentazione (F) e produca le correnti (P) e (W), contenenti i componenti (A), (B) e (C).

I bilanci indipendenti sono:

[ F_A=P_A+W_A ]

[ F_B=P_B+W_B ]

[ F_C=P_C+W_C ]

Queste equazioni impongono indipendentemente la conservazione di tutti e tre i componenti.

Si può scrivere anche un bilancio totale:

[ F_A+F_B+F_C

P_A+P_B+P_C+W_A+W_B+W_C ]

Tuttavia, questa equazione totale si ottiene sommando le tre equazioni di componente. È matematicamente dipendente e non può essere contata come un quarto bilancio indipendente.

Aggiungere specifiche e vincoli alle correnti

Utilizzare relazioni note di separazione o miscelazione

I soli bilanci di componente potrebbero non determinare ogni variabile incognita della corrente.

Ulteriori relazioni indipendenti possono includere:

Un recupero cellulare specificato nella corrente di prodotto
Una frazione di ripartizione nota per un componente gassoso
Una concentrazione di uscita target
Un rapporto preimpostato tra due portate in ingresso
Una purezza nota o un'efficienza di rimozione
Una portata totale misurata

Ad esempio, un separatore cellulare con recupero (R) può utilizzare:

[ P_{\text{cellule}}=R F_{\text{cellule}} ]

Un miscelatore di gas con una frazione molare di uscita specificata può utilizzare:

[ y_{\mathrm{CO_2},out}=y_{\mathrm{CO_2},target} ]

Queste sono specifiche di processo, non leggi di conservazione aggiuntive.

Imporre vincoli di somma delle frazioni

Se una corrente è descritta usando frazioni di massa o molari, le frazioni devono sommare a uno:

[ \sum_i w_{i,s}=1 ]

oppure

[ \sum_i y_{i,s}=1 ]

Per una corrente a tre componenti:

[ w_A+w_B+w_C=1 ]

Questo vincolo è richiesto quando le variabili di composizione sono incognite. È una condizione di normalizzazione fisica, non un quarto bilancio di componente.

Distinguere le relazioni indipendenti da quelle ridondanti

Una relazione aggiunge informazioni utili solo se non può essere derivata da equazioni già incluse.

Ad esempio, il bilancio totale è ridondante quando sono presenti tutti i bilanci di componente. Allo stesso modo, specificare due frazioni molari su tre potrebbe già determinare la terza attraverso il vincolo di somma delle frazioni.

L'obiettivo non è massimizzare il numero di equazioni scritte, ma ottenere il numero corretto di equazioni indipendenti.

Verificare l'indipendenza e i gradi di libertà

Formare la matrice dei coefficienti

Quando le equazioni sono lineari, scriverle in forma matriciale:

[ A\mathbf{x}=\mathbf{b} ]

Qui, (\mathbf{x}) contiene le portate di componente incognite, le portate totali o le variabili di composizione.

Il rango di (A) fornisce il numero di equazioni indipendenti rappresentate dal sistema. Se una riga è una combinazione lineare di altre righe, non aumenta il rango.

Eseguire un'analisi dei gradi di libertà

Calcolare:

[ \text{Gradi di libertà}

\text{numero di incognite}

\text{numero di equazioni indipendenti} ]

Un modello completamente specificato ha generalmente zero gradi di libertà.

Gradi di libertà positivi significano che sono necessarie misurazioni o specifiche aggiuntive.
Zero gradi di libertà indica un modello esattamente specificato.
Gradi di libertà negativi indicano che potrebbero essere presenti informazioni ridondanti o contrastanti.

Verificare il modello prima di risolvere

Un risolutore può restituire un risultato numerico anche quando il modello è formulato male, specialmente se i dati sono arrotondati o le equazioni sono quasi dipendenti.

Controllare il rango della matrice, gli errori residui e la fattibilità fisica della soluzione. Le portate e le concentrazioni non dovrebbero essere negative a meno che la definizione della variabile non permetta specificamente quantità con segno.

Applicare il metodo ai tipici sistemi pilota

Sistemi di separazione cellulare

Trattare la popolazione cellulare come un componente separatamente conservato quando le cellule non vengono né create né distrutte all'interno del separatore.

Per un separatore con correnti di alimentazione, cellule concentrate e liquido chiarificato, un bilancio cellulare può essere scritto come:

[ F_{\text{cellule}}

P_{\text{cellule}}+W_{\text{cellule}} ]

Bilanci aggiuntivi possono tracciare soluti disciolti, solidi sospesi o solvente, a seconda del modello previsto.

Se l'operazione causa crescita cellulare, morte, lisi o reazione chimica, devono essere inclusi i corrispondenti termini di sorgente o pozzo. Un semplice bilancio di separatore è valido solo quando tali effetti sono trascurabili o deliberatamente esclusi.

Sistemi di miscelazione di gas

Per la miscelazione di gas non reattivi, scrivere un bilancio molare per ogni specie gassosa.

Per la specie (i):

[ \sum_k F_{i,k}=F_{i,out} ]

Se l'ingresso (k) ha una portata molare totale (F_k) e una frazione molare (y_{i,k}), allora:

[ F_{i,k}=F_k y_{i,k} ]

La composizione in uscita si ottiene da:

[ y_{i,out}

\frac{\sum_k F_k y_{i,k}}{\sum_k F_k} ]

Le frazioni molari in uscita devono anche soddisfare:

[ \sum_i y_{i,out}=1 ]

Quella relazione finale è un vincolo di consistenza ed è dipendente dal set completo di bilanci di componente più la definizione della portata totale in uscita.

Unità multiple collegate

Per un sistema contenente miscelatori, separatori, reattori e divisori, stabilire i bilanci al livello necessario per la domanda a cui si sta rispondendo.

Utilizzare un confine globale per verificare la conservazione complessiva e utilizzare i confini delle singole unità per determinare le variabili delle correnti interne. Le correnti interne si annullano nel bilancio globale ma rimangono essenziali nei bilanci locali.

Comprendere i compromessi

I bilanci totali sono utili ma non indipendenti

Un bilancio totale è comunque prezioso per controllare i calcoli e rilevare incoerenze nelle misurazioni.

Semplicemente non può essere contato in aggiunta a tutti i bilanci di componente corrispondenti. Se vengono utilizzati solo alcuni bilanci di componente, un bilancio totale può fornire informazioni indipendenti, ma la sua indipendenza deve essere verificata rispetto alle equazioni già presenti.

Le variabili di composizione possono creare equazioni non lineari

L'uso simultaneo di portata totale e composizione può produrre prodotti di incognite:

[ F_s y_{i,s} ]

Se sia (F_s) che (y_{i,s}) sono incogniti, l'equazione è non lineare.

L'uso delle portate di componente (F_{i,s}) come incognite primarie produce spesso un modello lineare più semplice. La portata totale e la composizione possono quindi essere calcolate successivamente dove appropriato.

Le misurazioni possono essere incoerenti

I sensori degli impianti pilota raramente soddisfano esattamente ogni equazione di conservazione a causa di errori di calibrazione, rumore, differenze di campionamento o perdite non misurate.

Quando i dati misurati sovradeterminano il modello, gli ingegneri possono utilizzare metodi di riconciliazione dei dati o dei minimi quadrati. Le equazioni di conservazione rimangono il fondamento fisico, mentre l'incertezza della misurazione determina come vengono gestite le deviazioni.

I sistemi reattivi richiedono termini aggiuntivi

Per un'unità che reagisce, un bilancio di specie non è semplicemente ingresso uguale uscita.

Il bilancio generale a stato stazionario è:

[ \text{Ingresso}-\text{Uscita} + \text{Generazione per reazione}

\text{Consumo per reazione} =0 ]

Possono essere introdotti gradi di avanzamento di reazione o velocità di reazione indipendenti per rappresentare tali termini di sorgente e pozzo. Questo è diverso da un separatore o miscelatore non reattivo, dove le specie vengono semplicemente ridistribuite.

Come applicarlo al tuo progetto

Il set di equazioni corretto dipende dalle variabili selezionate e dalle specifiche disponibili.

Se il tuo focus principale è la separazione cellulare: Scrivi bilanci indipendenti per le cellule e ogni altra categoria di materiale che deve essere tracciata, quindi aggiungi specifiche di recupero, purezza, ripartizione o concentrazione.
Se il tuo focus principale è la miscelazione di gas: Scrivi un bilancio molare per ogni specie gassosa, usa portate e composizioni in ingresso note e imponi la somma delle frazioni molari in uscita.
Se il tuo focus principale è un impianto pilota a più unità: Definisci confini sia globali che locali, bilancia ogni sottosistema richiesto ed escludi le correnti interne solo dal bilancio globale.
Se il tuo focus principale è la soluzione numerica: Usa le portate di componente dove possibile, valuta il rango della matrice e conferma che i gradi di libertà siano zero.
Se il tuo focus principale sono i dati misurati dell'impianto pilota: Usa i bilanci indipendenti come vincoli di conservazione e riconcilia le misurazioni incoerenti piuttosto che aggiungere equazioni ridondanti.

I bilanci di materia indipendenti si stabiliscono facendo corrispondere ogni componente conservato indipendentemente a un set completo di vincoli fisici e di processo non ridondanti.

Tabella riassuntiva:

Aspetto chiave	Guida pratica
Bilanci indipendenti	Scrivere un'equazione di conservazione per ogni componente o specie tracciato indipendentemente.
Sistemi di separazione cellulare	Tracciare cellule, terreno disciolto, soluti o altre categorie di materiale rilevanti.
Sistemi di miscelazione di gas	Scrivere un bilancio molare per ogni specie gassosa usando portate in ingresso e frazioni molari.
Bilancio totale	Usare come controllo utile, ma non contare come indipendente quando sono inclusi tutti i bilanci di componente.
Equazioni aggiuntive	Aggiungere vincoli di recupero, purezza, ripartizione, concentrazione, portata e somma delle frazioni secondo necessità.
Validazione del modello	Controllare il rango della matrice, i gradi di libertà, i residui e la fattibilità fisica.
Sistemi reattivi	Includere termini di generazione e consumo per reazioni, crescita, morte o lisi.

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