La tensione totale del fluido viene separata in una tensione di pressione isotropa e in una tensione viscosa deviatorica. Nella consueta convenzione dei segni della meccanica dei continui, il tensore delle tensioni di Cauchy è espresso come (\boldsymbol{\sigma} = -p\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau}), dove (p) è la pressione statica o termodinamica e (\boldsymbol{\tau}) è il tensore delle tensioni viscose. Questa scomposizione consente ai modelli degli impianti pilota di distinguere le forze dovute ai gradienti di pressione, che trasportano e accelerano il fluido, dalle tensioni viscose, che rappresentano il trasferimento di quantità di moto causato dalla deformazione.

L'idea chiave è che la pressione agisce allo stesso modo in ogni direzione, mentre la tensione viscosa dipende dai gradienti di velocità. La loro divergenza combinata compare nel bilancio della quantità di moto e determina la perdita di pressione, l'attrito sulle pareti, la coppia di miscelazione e la distribuzione del flusso.

Significato della scomposizione delle tensioni

La tensione totale include gli effetti della pressione e della viscosità

La tensione totale agente su un elemento fluido è rappresentata dal tensore delle tensioni di Cauchy:

[ \boldsymbol{\sigma} = -p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

Qui, (\mathbf{I}) è il tensore identità, (-p\mathbf{I}) è il contributo isotropo della pressione e (\boldsymbol{\tau}) è il contributo viscoso o deviatorico.

Il segno negativo segue la convenzione comune secondo cui la pressione positiva è compressiva, mentre la tensione normale a trazione è positiva.

La pressione è la componente isotropa

La pressione contribuisce con la stessa tensione normale nelle direzioni (x), (y) e (z):

[ \sigma_{xx}^{(p)}=\sigma_{yy}^{(p)}=\sigma_{zz}^{(p)}=-p ]

Non genera tensioni di taglio perché un campo di pressione isotropo non ha una direzione privilegiata.

Per un tensore delle tensioni generale, la pressione termodinamica è correlata alla tensione normale media da:

[ p=-\frac{1}{3} \left( \sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz} \right) ]

La tensione viscosa è quindi la parte deviatorica rimanente:

[ \boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\sigma}+p\mathbf{I} ]

Di conseguenza, il tensore delle tensioni viscose ha traccia nulla:

[ \tau_{xx}+\tau_{yy}+\tau_{zz}=0 ]

Questa condizione di traccia nulla è ciò che rende il tensore viscoso un contributo di tensione deviatorico, anziché volumetrico.

Come la scomposizione entra nell'equazione della quantità di moto

Partendo dal bilancio generale della quantità di moto

Il bilancio locale della quantità di moto lineare è:

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f} + \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} ]

dove (\rho) è la densità, (\mathbf{v}) è la velocità, (D/Dt) è la derivata materiale e (\mathbf{f}) rappresenta le forze di volume, come la gravità per unità di volume.

Sostituendo (\boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau}) si ottiene:

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f}

\nabla p + \nabla\cdot\boldsymbol{\tau} ]

Questa è la forma pressione-viscosità dell'equazione della quantità di moto di Cauchy.

I gradienti di pressione guidano il trasporto globale

Il termine

[ -\nabla p ]

rappresenta la forza generata dalle variazioni spaziali della pressione statica. In una tubazione di scala pilota, ad esempio, una perdita di pressione imposta accelera il fluido attraverso la rete.

In un liquido statico sotto l'azione della gravità, la pressione varia con la quota. Con (z) misurata verso l'alto:

[ \nabla p=\rho\mathbf{g} ]

dove (\mathbf{g}) è orientata verso il basso. Questo campo di pressione idrostatica bilancia la gravità quando il fluido è a riposo.

Le tensioni viscose si oppongono alla deformazione

Il termine

[ \nabla\cdot\boldsymbol{\tau} ]

rappresenta la forza viscosa netta risultante dalla variazione spaziale delle tensioni viscose. È responsabile di effetti quali l'attrito sulle pareti, lo sviluppo del profilo di velocità e la diffusione della quantità di moto tra strati fluidi adiacenti.

La pressione può esistere in un fluido a riposo, ma la tensione viscosa richiede generalmente gradienti di velocità o deformazione, fatta eccezione per particolari effetti costitutivi presenti in materiali più complessi.

Relazione tra tensione viscosa e velocità

Relazione per un fluido newtoniano

Per un fluido newtoniano isotropo, la tensione viscosa è linearmente correlata al tensore della velocità di deformazione:

[ \boldsymbol{\tau}

2\mu\mathbf{D} + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I} ]

dove

[ \mathbf{D}

\frac{1}{2} \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] ]

Qui, (\mu) è la viscosità dinamica e (\lambda) è il secondo coefficiente di viscosità associato alla deformazione volumetrica.

Per un fluido incomprimibile,

[ \nabla\cdot\mathbf{v}=0 ]

e quindi la relazione costitutiva si riduce a:

[ \boldsymbol{\tau}

\mu \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] ]

L'equazione della quantità di moto assume quindi la nota forma newtoniana, in base alle ipotesi adottate per viscosità e densità costanti.

Le tensioni di taglio derivano dai gradienti di velocità

Per un flusso semplice nella direzione (x), con velocità variabile lungo (y), la tensione di taglio viscosa dominante è:

[ \tau_{xy}

\mu\frac{\partial u}{\partial y} ]

Questa relazione è direttamente rilevante per il flusso nelle tubazioni, i serbatoi agitati, gli strati limite e i canali di flusso negli impianti pilota.

Lo stesso gradiente che produce la tensione di taglio sulla parete contribuisce anche alla perdita di pressione e al fabbisogno di potenza di pompaggio.

Possono verificarsi anche tensioni viscose normali

Gli effetti viscosi non sono limitati alle componenti di taglio. Nei flussi accelerati, convergenti, divergenti o estensionali, le componenti diagonali di (\boldsymbol{\tau}) possono essere significative.

Per un flusso newtoniano incomprimibile, queste tensioni viscose normali sono correlate ai gradienti normali della velocità, mantenendo la condizione di traccia nulla del tensore deviatorico.

Applicazione della scomposizione nelle apparecchiature degli impianti pilota

Reti di tubazioni e canali di flusso

Nelle tubazioni, i gradienti di pressione forniscono la principale forza motrice, mentre le tensioni viscose trasferiscono la quantità di moto alle pareti. Il bilancio risultante determina il profilo di velocità e la perdita di pressione.

Per il flusso turbolento negli impianti pilota, la tensione modellata include sia la viscosità molecolare sia l'effetto delle fluttuazioni di velocità. Le tensioni di Reynolds sono comunemente rappresentate come:

[ \tau_{xy}^{t}

-\rho\overline{u'v'} ]

dove (u') e (v') sono componenti fluttuanti della velocità.

Serbatoi di miscelazione e reattori

In un recipiente agitato, la pressione contribuisce al campo complessivo delle forze e alla distribuzione idrostatica. La tensione viscosa controlla la dissipazione locale di energia, l'esposizione al taglio e la coppia richiesta dall'agitatore.

Per contenuti di reattori non newtoniani, la viscosità locale può variare con la velocità di deformazione. La scomposizione delle tensioni rimane valida, ma il modello costitutivo per (\boldsymbol{\tau}) diventa non lineare.

Colonne di separazione e apparecchiature a gravità

Nelle colonne di sedimentazione, nei decantatori e nelle apparecchiature di flottazione, la pressione idrostatica varia con la profondità e contribuisce a determinare il comportamento dell'interfaccia tra le fasi e dei livelli. Le tensioni viscose regolano la resistenza alla sedimentazione, il movimento interfacciale e il flusso vicino alle pareti.

Il campo di pressione e il campo viscoso svolgono quindi funzioni di modellazione diverse: la pressione stabilisce la distribuzione delle forze normali, mentre la tensione viscosa descrive il trasferimento della quantità di moto correlato alla deformazione.

Scambiatori di calore e unità termo-fluidodinamiche

Nei canali degli scambiatori di calore, la tensione di taglio sulla parete e la perdita di pressione sono correlate al campo dei gradienti di velocità. La stessa struttura del flusso influenza lo strato limite termico e il trasferimento convettivo del calore.

Ad alti numeri di Reynolds, il trasporto turbolento della quantità di moto può superare notevolmente il trasporto viscoso molecolare; pertanto, un modello di turbolenza deve tenere conto della tensione apparente aggiuntiva.

Comprendere i compromessi

La pressione non coincide con la tensione normale totale

Un errore comune nella modellazione consiste nel trattare ogni tensione normale come pressione statica. Nei flussi comprimibili, estensionali, rapidamente accelerati o non newtoniani, le tensioni viscose normali possono essere importanti.

La pressione è la componente isotropa dello stato tensionale; le tensioni normali rimanenti appartengono al tensore deviatorico.

La tensione turbolenta viene modellata, non identificata con la viscosità molecolare

Nel flusso turbolento, l'equazione della quantità di moto mediata nel tempo contiene le tensioni di Reynolds generate dalle fluttuazioni di velocità. Queste tensioni non sono identiche alle tensioni viscose molecolari, sebbene i modelli di turbolenza rappresentino spesso il loro effetto netto attraverso una viscosità efficace o turbolenta.

L'uso della sola viscosità molecolare può sottostimare l'attrito sulle pareti, la perdita di pressione, il fabbisogno di miscelazione e la potenza di pompaggio nelle apparecchiature pilota turbolente.

Le convenzioni dei segni devono rimanere coerenti

Alcuni riferimenti definiscono il tensore delle tensioni totali usando la pressione compressiva come (+p\mathbf{I}), mentre altri usano (-p\mathbf{I}). Entrambe le convenzioni possono funzionare, ma l'equazione della quantità di moto e le definizioni delle tensioni normali devono utilizzare la stessa convenzione in tutto il modello.

La forma ingegneristica standard è:

[ \boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

L'incomprimibilità non elimina tutte le tensioni viscose

Per un fluido incomprimibile, (\nabla\cdot\mathbf{v}=0) elimina il termine di dilatazione volumetrica dall'equazione costitutiva newtoniana. Non elimina la tensione di taglio né le tensioni deviatoriche normali causate da altri gradienti di velocità.

I fluidi non newtoniani richiedono una legge costitutiva adeguata

Per soluzioni polimeriche, sospensioni concentrate e brodi di fermentazione, la viscosità può dipendere dall'intensità della velocità di deformazione. Un modello generalizzato può essere scritto come:

[ \boldsymbol{\tau}

\mu(\Gamma) \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] ]

dove (\Gamma) caratterizza la velocità di deformazione locale.

La scomposizione pressione-viscosità rimane applicabile, ma la tensione viscosa deve essere calcolata utilizzando il comportamento reologico misurato del fluido.

Come applicare questi concetti al proprio progetto

La scomposizione corretta dipende dall'apparecchiatura, dal regime di flusso e dal modello del fluido utilizzato.

Se l'obiettivo principale è la perdita di pressione nelle tubazioni: Calcolare separatamente il contributo del gradiente di pressione dalle tensioni viscose sulle pareti e nel volume del fluido, includendo le tensioni di Reynolds turbolente quando il flusso è turbolento.
Se l'obiettivo principale è la miscelazione o la progettazione di reattori: Utilizzare il campo delle tensioni viscose per valutare la coppia dell'agitatore, la dissipazione locale di energia e l'esposizione al taglio, mantenendo la pressione per il bilancio complessivo delle forze e quello idrostatico.
Se l'obiettivo principale è un'apparecchiatura di separazione: Utilizzare la pressione idrostatica per stabilire il carico normale dipendente dalla profondità e le tensioni viscose per modellare la sedimentazione, il movimento interfacciale e la resistenza.
Se l'obiettivo principale è il trattamento di fluidi non newtoniani: Mantenere invariata la scomposizione della pressione, ma selezionare una legge costitutiva che colleghi la tensione deviatorica alla viscosità dipendente dalla velocità di deformazione misurata.
Se l'obiettivo principale è un funzionamento transitorio o turbolento: Distinguere la tensione viscosa molecolare dalla tensione turbolenta modellata, in modo da non sottostimare la perdita di pressione e il trasporto della quantità di moto.

Separare la pressione isotropa dalla tensione dipendente dalla deformazione fornisce ai modelli degli impianti pilota una base fisica chiara per prevedere il flusso, l'attrito, la miscelazione, la separazione e il comportamento nello scale-up.

Tabella riassuntiva:

Componente della tensione	Significato fisico	Principale ruolo nella modellazione	Applicazioni negli impianti pilota
Pressione statica	Tensione normale isotropa che agisce allo stesso modo in tutte le direzioni	Induce il flusso e stabilisce il carico idrostatico	Tubazioni, canali, colonne, decantatori
Tensione viscosa molecolare	Tensione deviatorica causata dai gradienti di velocità	Modella l'attrito sulle pareti, la diffusione della quantità di moto e la deformazione	Pompe, scambiatori di calore, serbatoi agitati
Tensione di Reynolds turbolenta	Trasporto della quantità di moto causato dalle fluttuazioni di velocità	Rappresenta la tensione apparente aggiuntiva nel flusso turbolento	Tubazioni ad alta portata, miscelazione, scale-up
Tensione non newtoniana	Tensione deviatorica dipendente dalla velocità di deformazione e basata sulla reologia del fluido	Prevede il taglio, la coppia e il comportamento del flusso nei fluidi complessi	Soluzioni polimeriche, sospensioni, brodi di fermentazione

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