L'analisi dei gradi di libertà si conduce contando le variabili incognite e le equazioni indipendenti, quindi sottraendo le equazioni dalle incognite. Per un'operazione unitaria di ingegneria chimica o un bilancio di materia di un impianto pilota, calcolare (N_D = N_U - N_E), dove (N_U) è il numero delle variabili incognite delle correnti e del processo e (N_E) è il numero dei bilanci, delle specifiche e delle relazioni fisiche indipendenti. Un risultato pari a zero indica che il modello è specificato correttamente per ottenere una soluzione univoca nel caso usuale; un risultato positivo significa che sono necessarie ulteriori informazioni, mentre un risultato negativo indica vincoli ridondanti o potenzialmente incoerenti.

Il test fondamentale consiste nel verificare se ogni incognita dispone di informazioni indipendenti sufficienti per essere determinata. Definire attentamente i confini del sistema, contare solo le equazioni indipendenti e utilizzare il risultato per decidere se risolvere il modello, raccogliere dati aggiuntivi o esaminare misurazioni ridondanti.

Definire il sistema prima del conteggio

Selezionare i confini dell'unità o del processo

Iniziare tracciando un confine intorno all'operazione unitaria, alla sezione dell'impianto pilota o alla combinazione di unità analizzata. Contare solo le variabili associate alle correnti e alle interazioni che attraversano tale confine, insieme alle variabili interne richieste dal modello scelto.

Per un singolo miscelatore, il confine può includere le correnti di alimentazione e di prodotto. Per un impianto pilota multistadio, può essere più efficace analizzare separatamente una sezione di assorbimento, condensazione o estrazione prima di analizzare l'intero processo.

Combinare le unità quando i dati interni non sono disponibili

Se una corrente intermedia tra due unità ha portata e composizione incognite, combinare le unità in un unico macrosistema può semplificare l'analisi. Le variabili della corrente interna scompaiono quindi dal problema del bilancio esterno.

Questo è utile, ad esempio, quando una colonna di distillazione e il relativo condensatore sono collegati da una linea di vapore non misurata. Il confine combinato evita di introdurre variabili che non possono essere correlate a quantità misurate o specificate.

Stabilire una base di calcolo

Una base di calcolo fa parte della specifica. Può essere una portata di alimentazione, una portata di produzione, una dimensione del lotto o un tempo operativo fisso.

Ad esempio, scegliere come base (100\ \mathrm{kmol}) di alimentazione può eliminare una variabile di scala altrimenti arbitraria. Senza una base o una portata totale misurata, le sole informazioni sulla composizione possono determinare soltanto quantità relative.

Contare le variabili incognite

Includere le portate delle correnti

Elencare ogni portata massica, molare o volumetrica incognita che attraversa il confine. Non contare due volte una variabile soltanto perché è rappresentata in unità diverse.

Se la portata volumetrica è correlata alla portata massica tramite una densità nota, può essere trattata come quantità derivata nota oppure come incognita indipendente collegata da un'equazione della densità, ma la scelta deve essere coerente.

Includere le composizioni indipendenti

Per una corrente contenente (n) specie, esistono solo (n-1) frazioni massiche o molari indipendenti perché

[ \sum_{i=1}^{n} x_i = 1 ]

oppure

[ \sum_{i=1}^{n} w_i = 1 ]

Pertanto, non contare tutte le (n) frazioni come incognite indipendenti contando anche la relazione di somma, a meno che tale equazione non venga inclusa deliberatamente nel conteggio.

Includere temperature, pressioni e carichi termici quando pertinenti

Un modello di bilancio di materia può richiedere ulteriori incognite, come la temperatura di uscita, la pressione, la frazione di vapore, il carico termico o il lavoro.

Queste variabili devono essere incluse quando il modello contiene bilanci di energia, relazioni di equilibrio tra fasi, equazioni di perdita di carico o calcoli delle proprietà che le coinvolgono.

Includere le estensioni di reazione o le velocità di reazione

Per i sistemi reattivi, le estensioni di reazione (\xi_j), le velocità di reazione o i termini di generazione e consumo delle specie possono essere incogniti.

Se il modello utilizza un'estensione di reazione per ogni reazione indipendente, ciascuna estensione viene conteggiata come un'incognita. Le corrispondenti relazioni stechiometriche collegano quindi l'estensione alle portate delle specie in ingresso e in uscita.

Contare le equazioni indipendenti

Scrivere i bilanci di materia per componente

Per un sistema non reattivo allo stato stazionario, ogni bilancio indipendente di specie ha la forma generale

[ \text{ingresso} - \text{uscita} = 0 ]

Per la specie (i),

[ \sum \dot n_{i,\text{in}}-\sum \dot n_{i,\text{out}}=0 ]

Questi bilanci sono generalmente le equazioni principali in un bilancio di materia di un'operazione unitaria.

È possibile scrivere anche un bilancio totale, ma potrebbe non essere indipendente se viene ottenuto sommando tutti i bilanci dei componenti. Contare solo le equazioni indipendenti.

Aggiungere i vincoli sulla composizione

La somma delle frazioni massiche o molari fornisce un'equazione per ogni corrente le cui variabili di composizione sono incluse:

[ \sum_i x_i=1 ]

Queste equazioni sono essenziali quando le singole frazioni dei componenti sono trattate come incognite.

Aggiungere le specifiche di processo

Le specifiche forniscono equazioni imposte dall'operazione, dal progetto o dall'esperimento. Gli esempi includono:

Una portata di alimentazione nota.
Una composizione del prodotto specificata.
Un recupero o una frazione di ripartizione noti.
Una condensazione frazionaria specificata.
Portate uguali in due diramazioni.
Una temperatura o pressione di uscita misurata.

Una misurazione fornisce informazioni utili solo se introduce una relazione indipendente che coinvolge le incognite.

Aggiungere le relazioni fisiche e delle proprietà

A seconda del modello, includere relazioni come

[ \dot m = \rho \dot V ]

per la conversione basata sulla densità tra portata massica e volumetrica, oppure equazioni di equilibrio vapore-liquido per la separazione di fase.

Altre relazioni possibili includono somme delle frazioni di fase, costanti di equilibrio, equazioni stechiometriche, correlazioni delle prestazioni delle apparecchiature e relazioni di perdita di carico.

Aggiungere i bilanci di energia quando richiesto

Se la temperatura, il carico termico, il cambiamento di fase o l'entalpia di reazione sono incogniti, il solo bilancio di materia potrebbe essere insufficiente. Un bilancio di energia può fornire l'equazione indipendente aggiuntiva:

[ \text{energia in ingresso} - \text{energia in uscita} + \text{calore aggiunto} - \text{lavoro} = 0 ]

Per gli impianti pilota reattivi, possono essere necessari bilanci di energia insieme ai bilanci delle specie per determinare le temperature di uscita o i carichi termici.

Calcolare e interpretare i gradi di libertà

Utilizzare l'equazione dei gradi di libertà

Dopo aver elencato le variabili e le equazioni, calcolare

[ N_D=N_U-N_E ]

dove:

(N_D) è il numero dei gradi di libertà.
(N_U) è il numero delle variabili incognite indipendenti.
(N_E) è il numero delle equazioni e delle specifiche indipendenti.

Il conteggio deve essere eseguito per il modello e i confini esatti del sistema da risolvere.

Quando (N_D=0)

Un risultato pari a zero significa che il sistema ha lo stesso numero di equazioni indipendenti e di incognite. È quindi esattamente specificato e in genere si può tentare di risolverlo come sistema quadrato di equazioni.

Per i bilanci di materia lineari, ciò corrisponde generalmente a una soluzione univoca se le equazioni sono indipendenti. Per i modelli non lineari, zero gradi di libertà non garantisce di per sé una soluzione numerica fisicamente significativa o univoca; le equazioni possono comunque avere più soluzioni, nessuna soluzione ammissibile o difficoltà numeriche.

Quando (N_D>0)

Un risultato positivo significa che il sistema è sottospecificato. Ci sono più incognite che equazioni indipendenti, quindi i bilanci disponibili non possono determinare univocamente tutte le variabili.

Le informazioni mancanti possono derivare da una portata non misurata, da una composizione di alimentazione incognita, da un recupero non specificato o da una relazione di processo mancante. Sono necessarie ulteriori misurazioni indipendenti o specifiche operative.

Quando (N_D<0)

Un risultato negativo significa che il sistema è sovraspecificato. Sono state elencate più equazioni o vincoli di quanti ne siano necessari per determinare le incognite conteggiate.

Ciò non dimostra automaticamente che non esista alcuna soluzione. Alcune equazioni possono essere ridondanti oppure le misurazioni possono essere reciprocamente coerenti. Tuttavia, un sistema sovraspecificato incoerente non ha una soluzione esatta e deve essere esaminato per individuare errori di misurazione, ipotesi errate, equazioni duplicate o un elenco incompleto delle variabili.

Applicare il metodo ai problemi degli impianti pilota

Iniziare con una tabella delle correnti

Creare una tabella che elenchi ogni corrente, la relativa portata totale, le frazioni dei componenti, la temperatura, la pressione, la fase e ogni altra proprietà modellata. Contrassegnare ogni voce come nota, misurata, specificata o incognita.

Questo mette in evidenza le incognite nascoste che sono facili da non rilevare in uno schema di processo, in particolare le composizioni e le variabili relative alle fasi.

Analizzare prima i sottosistemi semplici

Per un impianto pilota multistadio, isolare miscelatori, divisori di corrente, estrattori, assorbitori, condensatori o colonne e calcolare separatamente i loro gradi di libertà.

Un sottosistema con zero gradi di libertà può spesso essere risolto per primo, fornendo correnti intermedie note per il sottosistema successivo.

Utilizzare il risultato per pianificare le misurazioni

Se l'impianto pilota presenta gradi di libertà positivi, l'analisi identifica il tipo di informazione mancante. Un misuratore di portata in linea può determinare una portata incognita, mentre un campione di composizione analizzato in laboratorio può determinare la frazione incognita di una specie.

La misurazione aggiunta deve essere indipendente. Misurare un'altra variabile già determinata dai bilanci esistenti non ridurrà i gradi di libertà effettivi.

Verificare l'indipendenza delle equazioni

Evitare di contare equazioni che sono semplici riordinamenti algebrici o somme di altre equazioni. Ad esempio, un bilancio totale di massa può dipendere da tutti i bilanci dei componenti quando non viene generata né distrutta massa.

Analogamente, contare ogni frazione di specie come indipendente imponendo anche un vincolo di somma aumenta artificialmente sia il numero delle incognite sia quello delle equazioni.

Analizzare correttamente i sistemi reattivi

Bilanci delle specie molecolari

Con i bilanci molecolari, le reazioni introducono termini di generazione e consumo. Se le estensioni di reazione sono incognite, ogni reazione indipendente introduce generalmente un'ulteriore variabile di estensione incognita.

I bilanci delle specie e le relazioni stechiometriche devono essere conteggiati insieme. Una forma concettuale utile è

[ N_D=N_{\text{variabili incognite}}+N_{\text{reazioni indipendenti}} -N_{\text{bilanci molecolari indipendenti}} -N_{\text{equazioni ausiliarie}} ]

quando i termini di reazione sono rappresentati tramite ulteriori velocità o estensioni di reazione incognite.

Bilanci atomici

I bilanci atomici tengono conto della conservazione di elementi come carbonio, idrogeno e ossigeno. Le reazioni non creano né distruggono atomi, quindi nei bilanci atomici non compaiono termini di generazione dovuti alle reazioni.

Questa formulazione può ridurre la complessità delle equazioni di bilancio, ma possono comunque essere necessarie ulteriori relazioni per determinare la distribuzione delle specie molecolari.

Formulazione basata sull'estensione di reazione

Utilizzando le estensioni di reazione, le portate delle specie in uscita possono essere scritte come funzioni delle portate in ingresso e delle estensioni:

[ n_{i,\text{out}}

n_{i,\text{in}} + \sum_j \nu_{ij}\xi_j ]

dove (\nu_{ij}) è il coefficiente stechiometrico della specie (i) nella reazione (j), e (\xi_j) è l'estensione della reazione (j).

Le estensioni diventano incognite da risolvere insieme ai bilanci, alle specifiche di conversione, alle relazioni di equilibrio o alle equazioni cinetiche.

Comprendere i compromessi

Un conteggio pari a zero non è una validazione completa

L'analisi dei gradi di libertà verifica se il modello è specificato a livello strutturale. Non conferma che le equazioni descrivano accuratamente l'apparecchiatura o che i dati misurati siano affidabili.

Un modello può avere (N_D=0) e produrre comunque portate non fisiche a causa di ipotesi errate sulle fasi, dati dei sensori difettosi o una correlazione delle proprietà non valida.

Le misurazioni ridondanti possono essere utili

Un sistema sovraspecificato non è necessariamente indesiderabile in un impianto pilota. Le misurazioni ridondanti possono essere utilizzate per verificare la coerenza dei dati, rilevare guasti dei sensori e stimare le variabili tramite una procedura di riconciliazione dei dati ai minimi quadrati.

La distinzione fondamentale è tra risolvibilità strutturale e validazione dei dati. Un modello minimo può richiedere zero gradi di libertà, mentre un impianto operativo può raccogliere intenzionalmente più misurazioni del minimo necessario.

Il conteggio delle equazioni dipende dal modello

La modifica del modello può cambiare il risultato dei gradi di libertà. L'aggiunta di un bilancio di energia, di una relazione di equilibrio, di un'estensione di reazione o di un'equazione di perdita di carico introduce sia ipotesi di modellazione sia potenzialmente nuove variabili.

Il conteggio deve quindi essere ripetuto ogni volta che cambiano i confini del processo, il regime operativo o la formulazione matematica.

È comunque necessario verificare la fattibilità fisica

Dopo la risoluzione, verificare che le portate siano non negative, che le frazioni siano comprese tra zero e uno, che i bilanci totali siano chiusi e che temperature e pressioni rimangano entro intervalli fisicamente significativi.

Una soluzione matematicamente determinata è utile solo se soddisfa anche i vincoli fisici dell'operazione unitaria.

Scegliere l'approccio giusto per il proprio obiettivo

Utilizzare il risultato dei gradi di libertà come strumento di progettazione e diagnostica prima di risolvere le equazioni del bilancio di materia.

Se l'obiettivo principale è risolvere una singola operazione unitaria: Definire confini chiari, contare le variabili indipendenti delle correnti, includere tutti i bilanci e le specifiche pertinenti e procedere quando il modello ha (N_D=0).
Se l'obiettivo principale è configurare un impianto pilota: Utilizzare i gradi di libertà positivi per identificare i misuratori di portata, le analisi di composizione e le specifiche operative necessarie per un calcolo univoco.
Se l'obiettivo principale è analizzare un processo con più unità: Combinare le unità con correnti interne non misurate oppure risolvere in sequenza partendo dai sottosistemi con zero gradi di libertà.
Se l'obiettivo principale è validare dati sperimentali: Considerare un risultato negativo dei gradi di libertà come un'opportunità per confrontare misurazioni ridondanti e analizzare le incoerenze, invece di scartare automaticamente i dati.
Se l'obiettivo principale è modellare un reattore: Includere le estensioni o le velocità di reazione, le relazioni stechiometriche e tutte le equazioni di energia o di equilibrio necessarie prima di determinare se il sistema è chiuso.

Un'analisi accurata dei gradi di libertà trasforma la domanda «È possibile risolvere questo bilancio?» in una decisione precisa sulle informazioni, sulle equazioni e sulle misurazioni effettivamente richieste dal modello di processo.

Tabella riepilogativa:

Elemento dell'analisi	Punto chiave
Equazione dei gradi di libertà	`N_D = N_U - N_E`
`N_D = 0`	Il modello è specificato strutturalmente e generalmente può essere risolto.
`N_D > 0`	Il modello è sottospecificato; sono necessari dati o equazioni aggiuntivi.
`N_D < 0`	Il modello è sovraspecificato; verificare la presenza di ridondanze o misurazioni incoerenti.
Incognite da contare	Portate delle correnti, composizioni indipendenti, temperature, pressioni, carichi termici, estensioni e velocità di reazione.
Equazioni da contare	Bilanci dei componenti, vincoli sulla composizione, specifiche di processo, relazioni delle proprietà, bilanci di energia ed equazioni di reazione.
Buona pratica	Definire i confini del sistema, contare solo le informazioni indipendenti e verificare la fattibilità fisica dopo la risoluzione.
Applicazione agli impianti pilota	Utilizzare il risultato per identificare i misuratori di portata, le analisi di composizione o le specifiche operative mancanti.

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