Utilizza le portate dei componenti come incognite. Nei bilanci di materia delle operazioni unitarie e degli impianti pilota di ingegneria chimica, formula ogni incognita come una singola portata massica, portata molare o quantità di componente. Evita di utilizzare una portata totale incognita moltiplicata per una frazione massica o molare incognita, perché tale prodotto crea un'equazione non lineare e impedisce la soluzione diretta con i metodi standard delle matrici lineari.

La formulazione lineare più affidabile consiste nel risolvere prima le portate dei componenti e quindi calcolare le portate totali e le composizioni a partire da tali risultati. In questo modo si ottiene un sistema di equazioni della forma Ax = b, che può essere risolto efficientemente con l'algebra lineare numerica standard quando le equazioni sono indipendenti e i gradi di libertà sono pari a zero.

Perché la scelta delle incognite determina la linearità

La rappresentazione non lineare della corrente

Una portata di componente è spesso espressa come:

[ \dot{m}_i = \dot{m}w_i ]

dove (\dot{m}) è la portata massica totale e (w_i) è la frazione massica del componente.

Se sia (\dot{m}) sia (w_i) sono incognite, il loro prodotto contiene due variabili incognite. Il bilancio risultante è non lineare, anche se la legge di conservazione sottostante è lineare.

La rappresentazione lineare basata sulle portate dei componenti

Definisci la portata del componente stesso come incognita:

[ \dot{m}_i = x_i ]

Un bilancio di componente può quindi essere scritto direttamente come:

[ \sum_j a_{ij}x_j = b_i ]

dove i coefficienti (a_{ij}) rappresentano relazioni note tra le correnti, fattori di distribuzione o coefficienti stechiometrici. Il vettore delle incognite contiene le portate dei componenti anziché prodotti di portate totali e composizioni.

Determinazione successiva delle proprietà della corrente

Una volta calcolate le portate dei componenti, determina la portata totale della corrente come:

[ \dot{m}_{\text{total}} = \sum_i \dot{m}_i ]

Quindi calcola la frazione massica del componente utilizzando:

[ w_i = \frac{\dot{m}i}{\dot{m}{\text{total}}} ]

Lo stesso approccio si applica su base molare:

[ \dot{n}_{\text{total}} = \sum_i \dot{n}_i \qquad y_i = \frac{\dot{n}i}{\dot{n}{\text{total}}} ]

In questo modo il calcolo del bilancio lineare viene separato dal calcolo della composizione.

Come costruire il modello di bilancio

Stabilisci la base di calcolo

Scegli una base prima di definire le incognite. Per il funzionamento continuo allo stato stazionario, questa è comunemente una portata per unità di tempo; per il funzionamento discontinuo, può essere un lotto o una carica specificata.

Utilizza in modo coerente la portata massica o molare in tutto il modello, salvo che siano incluse esplicitamente conversioni tra le diverse basi.

Disegna il processo e numera le correnti

Un diagramma di flusso di processo dovrebbe identificare ogni corrente in ingresso, in uscita, di riciclo, di separazione e intermedia. Ogni portata di componente associata a una corrente incognita diventa una variabile candidata.

Ad esempio, una corrente in uscita a due componenti può essere rappresentata da:

[ x_1 = \dot{m}{A,\text{out}} \qquad x_2 = \dot{m}{B,\text{out}} ]

anziché dalla coppia costituita dalla portata totale in uscita e da una frazione di composizione incognita.

Scrivi bilanci di componente indipendenti

Per un'unità non reattiva allo stato stazionario:

[ \text{componente in ingresso} = \text{componente in uscita} ]

Per un'unità reattiva, includi i termini noti di produzione o consumo stechiometrico. Se anche le estensioni di reazione, le espressioni cinetiche, le relazioni di equilibrio o altre quantità sono incognite e moltiplicano altre incognite, il modello potrebbe non rimanere lineare.

Assembla la forma matriciale

Dopo aver disposto ogni equazione in modo che i termini incogniti siano a sinistra e quelli noti a destra, scrivi:

[ A\mathbf{x}=\mathbf{b} ]

Ad esempio:

[ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\ x_2 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} b_1\ b_2 \end{bmatrix} ]

Qui, (A) contiene i coefficienti noti, (\mathbf{x}) contiene le incognite relative alle portate dei componenti e (\mathbf{b}) contiene le portate note di alimentazione, le specifiche o i termini sorgente.

Verifica se il sistema è risolvibile

Esegui un'analisi dei gradi di libertà

Calcola:

[ \text{Gradi di libertà}

\text{numero di incognite}

\text{numero di equazioni indipendenti} ]

Un sistema con gradi di libertà pari a zero è esattamente specificato e può avere una soluzione unica se la matrice dei coefficienti ha rango pieno.

Un valore positivo indica che sono necessarie ulteriori misurazioni o specifiche. Un valore negativo indica che il modello può contenere equazioni ridondanti o specifiche incoerenti.

Verifica l'indipendenza delle equazioni

Contare le equazioni non è sufficiente, poiché alcuni bilanci possono essere linearmente dipendenti. Verifica il rango di (A) prima di risolvere.

Per un sistema quadrato, è necessaria una matrice di rango pieno per ottenere un risultato univoco utilizzando un risolutore diretto come:

import numpy as np

x = np.linalg.solve(A, b)

Se la matrice è singolare o presenta un rango insufficiente, esamina il modello alla ricerca di bilanci duplicati, variabili omesse o correnti definite in modo insufficiente.

Verifica la conservazione dopo la risoluzione

Sostituisci le portate dei componenti calcolate in ogni bilancio. Il vettore dei residui è:

[ \mathbf{r}=A\mathbf{x}-\mathbf{b} ]

Residui piccoli indicano che la soluzione numerica soddisfa le equazioni formulate. Tuttavia, da soli non dimostrano che il modello di processo o le misurazioni siano corretti.

Comprendere i compromessi

Le incognite relative ai componenti aumentano il numero di variabili

L'utilizzo delle portate dei componenti può creare più incognite rispetto a una formulazione basata su portata totale e composizione. Questo è solitamente un compromesso accettabile perché le equazioni risultanti rimangono lineari e sono più facili da risolvere e verificare.

Le variabili aggiuntive rendono inoltre esplicita la conservazione dei componenti, un aspetto prezioso nell'analisi degli impianti pilota e nell'insegnamento di laboratorio.

Le misurazioni della composizione possono essere comunque necessarie

Le incognite relative alle portate dei componenti non eliminano la necessità di misurare le composizioni quando il processo è sottospecificato. Forniscono una rappresentazione matematica migliore, ma il modello richiede comunque dati indipendenti e specifiche operative sufficienti.

Le portate totali note o le composizioni note possono essere incluse come equazioni lineari, quando appropriato.

Alcuni modelli di processo sono fondamentalmente non lineari

La conservazione della materia è lineare rispetto alle portate dei componenti, ma il modello completo dell'operazione unitaria potrebbe non esserlo. L'equilibrio liquido-vapore, le relazioni pressione-portata, le cinetiche di reazione, le correlazioni di trasferimento del calore e i calcoli delle proprietà possono introdurre termini non lineari.

Utilizza un modello di bilancio lineare quando le informazioni disponibili lo consentono. Non forzare un comportamento di processo intrinsecamente non lineare in una formulazione lineare semplicemente per utilizzare un risolutore matriciale.

Le portate calcolate negative richiedono un'indagine

Una portata negativa di un componente segnala solitamente un errore di segno, una corrente o un termine di processo omesso, misurazioni incoerenti o una specifica di processo non valida. Può inoltre indicare che il regime operativo o la struttura del modello ipotizzati sono incompatibili con i dati forniti.

Esamina le direzioni delle correnti, i segni dei bilanci, le unità di misura, il rango delle equazioni e gli ingressi misurati prima di accettare il risultato.

Fai la scelta giusta in base al tuo obiettivo

Utilizza la formulazione che corrisponde allo scopo del modello:

Se il tuo obiettivo principale è un risolutore lineare robusto: Definisci le singole portate massiche o molari dei componenti come vettore delle incognite e risolvi il sistema risultante (A\mathbf{x}=\mathbf{b}).
Se il tuo obiettivo principale è determinare le composizioni delle correnti: Risolvi prima le portate dei componenti, quindi ottieni le portate totali e le frazioni massiche o molari mediante somma e normalizzazione.
Se il tuo obiettivo principale è la riconciliazione dei dati di un impianto pilota: Includi le informazioni misurate sulle correnti e sulle composizioni come equazioni indipendenti, quindi verifica il rango della matrice e i residui dei bilanci.
Se il tuo obiettivo principale è una simulazione dettagliata del processo: Mantieni le variabili relative alle portate dei componenti per i bilanci di conservazione, ma utilizza un risolutore non lineare quando equilibrio, cinetica o relazioni sulle proprietà lo richiedono.

Scegliendo le portate dei componenti come incognite principali, rendi trasparenti le equazioni di conservazione, preservi la linearità quando possibile e fornisci ai risolutori numerici il problema più chiaro da risolvere.

Tabella riepilogativa:

Elemento di modellazione	Approccio consigliato	Vantaggio
Incognite principali	Singole portate massiche o molari dei componenti	Preserva le equazioni lineari
Modello matriciale	Esprimere i bilanci come `A x = b`	Consente l'utilizzo di risolutori lineari standard
Portata totale	Sommare le portate dei componenti dopo la risoluzione	Separa il calcolo dalla composizione
Composizione	Dividere la portata di ciascun componente per la portata totale	Fornisce le frazioni massiche o molari
Risolvibilità	Verificare i gradi di libertà e il rango della matrice	Conferma se è possibile ottenere una soluzione unica
Validazione	Valutare i residui dei bilanci e analizzare le portate negative	Rileva problemi di modellazione o di dati
Comportamento non lineare	Utilizzare risolutori non lineari per equilibrio, cinetica e relazioni sulle proprietà	Corrisponde al modello completo del processo

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