Le funzioni di base matematiche sono le armoniche sferiche per la componente angolare e le funzioni di Bessel sferiche per quella radiale, selezionate in modo da soddisfare le condizioni al contorno dell'apparecchiatura. Per i moduli sferici assialsimmetrici, la dipendenza angolare viene espansa in polinomi di Legendre (P_\ell(\cos\theta)), mentre la dipendenza radiale utilizza funzioni di Bessel sferiche o la loro forma equivalente seno-su-raggio. Gli autovalori ammissibili sono determinati dal fatto che la sfera abbia un valore superficiale fissato, un flusso nullo oppure un trasferimento termico o di massa convettivo.

Il principio fondamentale consiste nello scegliere un insieme ortogonale di autofunzioni che soddisfi sia l'operatore differenziale sferico sia le condizioni fisiche al contorno. Le condizioni di Dirichlet, Neumann e Robin producono equazioni caratteristiche, autovalori e coefficienti di espansione differenti.

Come viene formulato il problema del trasporto sferico

La diffusione del calore e della massa condividono la stessa struttura matematica

In presenza di proprietà costanti e in assenza di generazione interna, la temperatura o la concentrazione possono essere rappresentate da un campo generico (\Theta(r,\theta,\phi,t)). L'equazione transitoria ha la forma della diffusione

[ \frac{\partial \Theta}{\partial t}

D\nabla^2\Theta, ]

dove (D) è la diffusività pertinente.

Per la conduzione termica,

[ D=\alpha=\frac{k_T}{\rho \hat C_p}, ]

mentre per la diffusione di massa, (D) è la diffusività della specie.

Le coordinate sferiche si separano naturalmente

Il laplaciano in coordinate sferiche si separa in componenti radiale e angolare. Una soluzione separata può essere scritta schematicamente come

[ \Theta(r,\theta,\phi,t)

R(r)Y(\theta,\phi)G(t). ]

Il fattore dipendente dal tempo ha generalmente la forma

[ G(t)=\exp(-D\lambda^2t), ]

per cui i modi spaziali di ordine superiore decadono più rapidamente.

L'assialsimmetria riduce la base angolare

Se l'apparecchiatura e il carico sono indipendenti dall'angolo azimutale (\phi), il problema angolare dipende soltanto da

[ \eta=\cos\theta. ]

L'equazione angolare diventa quindi l'equazione di Legendre, le cui soluzioni regolari sono i polinomi di Legendre

[ P_\ell(\eta)=P_\ell(\cos\theta). ]

Questi polinomi sono ortogonali nell'intervallo (-1\leq\eta\leq1), consentendo di espandere il campo come

[ \Theta(r,\theta,t)

\sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{n} A_{\ell n} R_{\ell n}(r) P_\ell(\cos\theta) e^{-D\lambda_{\ell n}^2t}. ]

Per un carico completamente tridimensionale, i polinomi di Legendre vengono sostituiti dalle armoniche sferiche (Y_\ell^m(\theta,\phi)).

Quali funzioni di base radiali vengono utilizzate?

Le funzioni di Bessel sferiche sono la base radiale generale

L'equazione agli autovalori radiale contiene l'indice di separazione angolare (\ell). La sua soluzione regolare al centro della sfera è la funzione di Bessel sferica

[ R_\ell(r)=j_\ell(\lambda r). ]

La seconda soluzione indipendente, la funzione di Neumann sferica (y_\ell(\lambda r)), è singolare in (r=0) e viene pertanto esclusa per una sfera solida contenente l'origine.

Per il modo sfericamente simmetrico (\ell=0),

[ j_0(\lambda r)=\frac{\sin(\lambda r)}{\lambda r}. ]

Pertanto, la forma comunemente utilizzata

[ R_0(r)\propto\frac{\sin(\lambda r)}{r} ]

è specificamente la soluzione radiale (\ell=0), oppure il risultato della trasformazione

[ \Theta(r,t)=\frac{\Psi(r,t)}{r}. ]

La trasformazione (\Psi/r) semplifica l'equazione radiale

Per un problema sfericamente simmetrico, l'equazione radiale della diffusione è

[ \frac{\partial \Theta}{\partial t}

D\left[ \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\frac{\partial\Theta}{\partial r} \right) \right]. ]

Utilizzando

[ \Theta(r,t)=\frac{\Psi(r,t)}{r} ]

si converte l'operatore radiale sferico nell'equazione di diffusione unidimensionale

[ \frac{\partial\Psi}{\partial t}

D\frac{\partial^2\Psi}{\partial r^2}. ]

Le autofunzioni spaziali risultanti sono combinazioni di (\sin(\lambda r)) e (\cos(\lambda r)). La regolarità al centro elimina il contributo del coseno nella consueta formulazione per una sfera solida.

L'ortogonalità consente soluzioni in serie

Le autofunzioni radiali e angolari formano insiemi ortogonali con il peso sferico appropriato. Per i modi radiali, l'elemento di volume introduce un peso (r^2):

[ \int_0^l r^2 R_{\ell n}(r)R_{\ell m}(r),dr=0, \qquad n\ne m. ]

Questa ortogonalità permette di proiettare la distribuzione iniziale di temperatura o concentrazione sulle autofunzioni, ottenendo i coefficienti (A_{\ell n}).

Come le condizioni al contorno determinano gli autovalori

Il centro richiede una condizione di regolarità o simmetria

Al centro di una sfera solida, il campo deve rimanere finito. Anche il flusso radiale fisico deve annullarsi:

[ \left.\frac{\partial\Theta}{\partial r}\right|_{r=0}=0. ]

Questa è la condizione di simmetria sferica. Non è una semplice comodità numerica facoltativa; impone la continuità attraverso il centro ed elimina le soluzioni radiali singolari.

Le condizioni di Dirichlet impongono un valore superficiale fissato

Una temperatura o concentrazione superficiale fissata è rappresentata da

[ \Theta(l,t)=\Theta_s. ]

Dopo aver sottratto il valore al contorno stazionario, la condizione omogenea dell'autofunzione diventa

[ R_{\ell n}(l)=0. ]

Per il modo sfericamente simmetrico, si ottiene

[ \sin(\lambda_n l)=0, ]

e quindi

[ \lambda_n l=n\pi, ]

con l'indicizzazione scelta in base all'inclusione o meno del modo nullo.

Questa condizione modella una sfera la cui superficie è mantenuta da un bagno, una camicia o un serbatoio esterno della concentrazione altamente controllato.

Le condizioni di Neumann impongono un flusso specificato

Una superficie isolata o impermeabile presenta un flusso normale nullo:

[ -k_T\left.\frac{\partial\Theta}{\partial r}\right|_{r=l}=0 ]

per il trasferimento di calore, oppure

[ -D\left.\frac{\partial C}{\partial r}\right|_{r=l}=0 ]

per la diffusione di massa.

Per la soluzione sfericamente simmetrica trasformata, ciò produce l'equazione caratteristica

[ \lambda_n l=\tan(\lambda_n l). ]

Più in generale, la derivata della funzione di Bessel sferica appropriata deve annullarsi:

[ \left.\frac{d}{dr}j_\ell(\lambda_{\ell n}r)\right|_{r=l}=0. ]

Un confine isolato o impermeabile conserva l'energia termica totale o la massa della specie all'interno della sfera, tenendo conto di eventuali sorgenti o pozzi interni.

Le condizioni di Robin rappresentano il trasferimento convettivo

Una superficie convettiva è descritta da una condizione mista. Per il trasferimento di calore,

[ -k_T\left.\frac{\partial\Theta}{\partial r}\right|_{r=l}

h_T\left[\Theta(l,t)-\Theta_\infty(t)\right]. ]

Per il trasferimento di massa, la condizione analoga è

[ -D\left.\frac{\partial C}{\partial r}\right|_{r=l}

k_m\left[C(l,t)-C_\infty(t)\right]. ]

Dopo la nondimensionalizzazione, il coefficiente di trasferimento compare attraverso un parametro di tipo Biot. Per la soluzione sfericamente simmetrica trasformata, l'equazione caratteristica può essere scritta in una forma come

[ \lambda_n l

\left(1-A l^2\right)\tan(\lambda_n l), ]

a seconda della definizione di (A), della convenzione dei segni e della variabile dipendente trasformata.

L'aspetto fisico fondamentale è che le condizioni di Robin tengono conto della resistenza esterna al solido, compresi uno strato limite fluido, una pellicola sul lato della camicia o un film esterno di trasferimento di massa.

Le condizioni non omogenee richiedono un adeguamento allo stato stazionario

Le espansioni in autofunzioni sono più semplici quando le condizioni al contorno sono omogenee. Se la temperatura o la concentrazione superficiale varia nel tempo, il campo viene comunemente scomposto in una parte particolare o quasi stazionaria più una parte transitoria che soddisfa condizioni omogenee.

Questo passaggio impedisce che rimangano termini al contorno irrisolti quando l'equazione della diffusione viene trasformata.

Perché le condizioni al contorno devono corrispondere alla base

Le condizioni al contorno definiscono il problema agli autovalori

Il solo operatore differenziale non determina la base. L'operatore insieme alla condizione al centro, alla condizione superficiale e a eventuali vincoli di simmetria definisce il problema agli autovalori di Sturm-Liouville.

Di conseguenza, due sfere con proprietà dei materiali identiche possono richiedere autovalori diversi se una ha una temperatura superficiale fissata e l'altra è sottoposta a riscaldamento convettivo.

L'uso di funzioni di base compatibili elimina i termini al contorno indesiderati

Quando le trasformate finite di Fourier o le trasformate in autofunzioni vengono derivate mediante integrazione per parti, compaiono termini al contorno. Una base che soddisfa le stesse condizioni al contorno omogenee fa sì che tali termini si annullino o si convertano in costanti note.

L'uso di una base sinusoidale per un contorno convettivo, ad esempio, generalmente non rappresenta correttamente la fisica effettiva della superficie. Il problema trasformato risultante può avere autovalori, coefficienti o entrambi errati.

Le condizioni al contorno devono riflettere il modulo reale

Per le apparecchiature di impianto pilota, la scelta matematica dovrebbe seguire l'interfaccia fisica:

• Un bagno controllato o una composizione superficiale imposta suggerisce un comportamento di Dirichlet.
• Una parete isolata, un piano di simmetria o una superficie impermeabile suggerisce un comportamento di Neumann.
• Una camicia, un gas in movimento, un film liquido o una fase esterna di massa suggeriscono generalmente un comportamento di Robin.
• Un ingresso, un'uscita o un'interfaccia reattiva possono richiedere una condizione separata di valore o flusso specificato, anziché una condizione superficiale sferica.

Comprendere i compromessi

Gli autovalori in forma chiusa sono limitati

I problemi di Dirichlet e alcuni problemi di Neumann producono equazioni caratteristiche semplici e successioni di autovalori esplicite. I problemi di Robin conducono generalmente a equazioni trascendenti che richiedono la ricerca numerica delle radici.

Il lavoro numerico aggiuntivo è giustificato quando la resistenza esterna al trasferimento influisce significativamente sul processo.

La forma seno-su-raggio ha un campo di applicazione limitato

Scrivere la soluzione radiale come

[ \frac{\sin(\lambda r)}{r} ]

è appropriato per il modo sfericamente simmetrico (\ell=0). Non costituisce la base completa per una variazione angolare arbitraria, per la quale deve essere utilizzata (j_\ell(\lambda r)).

L'uso della forma più semplice per un carico non assialsimmetrico o fortemente non uniforme può omettere modi angolari fisicamente importanti.

Le ipotesi ideali potrebbero non essere valide nelle apparecchiature pilota

La base analitica standard presuppone condizioni quali proprietà costanti, geometria sferica e un'equazione lineare di diffusione o conduzione. I moduli reali possono presentare diffusività variabile, reazione interna, movimento del fluido, resistenza di contatto, trasferimento superficiale non uniforme o forma sferica imperfetta.

Questi effetti possono richiedere metodi numerici quali il calcolo a volumi finiti, agli elementi finiti o spettrale.

Le condizioni al contorno sperimentali sono raramente perfette

La temperatura di un bagno ritenuto a temperatura fissa può variare e un coefficiente di film stimato può cambiare con la portata, la viscosità o la concentrazione. La validazione del modello dovrebbe quindi confrontare i dati misurati superficiali e interni, invece di trattare la condizione al contorno ipotizzata come esatta.

La condizione al contorno è spesso una delle maggiori fonti di incertezza nella stima della diffusività o dei coefficienti di trasferimento.

Fare la scelta giusta per il proprio obiettivo

La base dovrebbe essere selezionata in funzione della geometria, della simmetria e della fisica dell'interfaccia del modulo pilota.

• Se l'obiettivo principale è il comportamento transitorio sfericamente simmetrico: utilizzare la base di Bessel sferica (\ell=0), oppure la rappresentazione equivalente (\sin(\lambda r)/r), con la condizione di simmetria al centro e l'equazione caratteristica superficiale appropriata.
• Se l'obiettivo principale è un riscaldamento o una concentrazione angolarmente non uniforme: espandere la soluzione in polinomi di Legendre per i sistemi assialsimmetrici o in armoniche sferiche per i sistemi completamente tridimensionali, utilizzando radialmente (j_\ell(\lambda r)).
• Se l'obiettivo principale è una temperatura o concentrazione superficiale controllata: applicare una condizione di Dirichlet e utilizzare autofunzioni che si annullano sulla superficie dopo aver sottratto il valore al contorno imposto.
• Se l'obiettivo principale è l'isolamento, l'impermeabilità o la simmetria: applicare una condizione di Neumann con flusso normale nullo e utilizzare autofunzioni compatibili con la derivata.
• Se l'obiettivo principale è un trasferimento limitato dal lato della camicia o dal film: applicare una condizione di Robin utilizzando il coefficiente di trasferimento termico o di massa misurato o stimato, quindi determinare numericamente gli autovalori.
• Se l'obiettivo principale è l'accordo con le misure dell'impianto pilota: verificare che le condizioni al contorno ipotizzate riflettano le condizioni reali di ingresso, uscita, parete, simmetria e fluido esterno prima di adattare i parametri di trasporto.

Associare correttamente le funzioni di base di Bessel sferiche o armoniche alle condizioni fisiche al contorno trasforma il modello transitorio in una rappresentazione difendibile dell'impianto pilota, anziché in una semplice soluzione matematica formale.

Tabella riassuntiva:

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