Le equazioni standard di trasporto di energia e quantità di moto sono valide solo quando le loro ipotesi costitutive e termodinamiche corrispondono al regime fisico dell'impianto pilota. Prima di utilizzare le equazioni di Navier-Stokes e di bilancio energetico, è necessario convalidare l'ipotesi del continuo, il comportamento degli sforzi, l'isotropia del fluido, la reologia newtoniana, la chiusura termodinamica, la conduzione di calore di Fourier, le ipotesi di fase, i termini sorgente e la positività dei coefficienti di trasporto. La turbolenza, la reazione, l'irraggiamento, la diffusione delle specie e il comportamento multifase potrebbero richiedere modelli aggiuntivi anziché essere assorbiti implicitamente nelle equazioni standard.
Le leggi di conservazione che governano il sistema sono ampiamente applicabili, ma le loro previsioni pratiche dipendono dalle ipotesi costitutive utilizzate per chiuderle. Un modello di impianto pilota è credibile solo quando tali ipotesi vengono verificate rispetto alla scala del flusso, alle proprietà del fluido, alle condizioni operative e ai dati misurati.
Iniziare con il modello di governo
Le leggi di conservazione non costituiscono l'intero modello
Un modello di impianto pilota basato sul continuo contiene solitamente un'equazione di conservazione della massa, tre equazioni della quantità di moto e un'equazione dell'energia. Queste equazioni descrivono la conservazione, ma non specificano di per sé come si comportano sforzo, flusso di calore, densità, viscosità o conducibilità termica.
Il modello deve quindi essere chiuso con relazioni costitutive come l'equazione di stato, la legge di viscosità di Newton e la legge di conduzione del calore di Fourier.
Le proprietà devono riflettere le condizioni operative
Densità, capacità termica, viscosità e conducibilità termica dovrebbero generalmente essere trattate come funzioni della temperatura e della pressione:
[ \rho=\rho(T,p), \qquad c_p=c_p(T,p), \qquad \mu=\mu(T,p), \qquad \lambda=\lambda(T,p) ]
Per miscele complesse, queste proprietà possono dipendere fortemente anche dalla composizione. L'utilizzo di proprietà costanti o scarsamente caratterizzate può produrre cadute di pressione, coefficienti di trasferimento di calore, campi di temperatura e conclusioni di scale-up errate, anche quando la soluzione numerica è ben convergente.
Convalidare le ipotesi fisiche
L'ipotesi del continuo
Il fluido deve essere rappresentabile come un campo continuo le cui proprietà variano in modo fluido nello spazio e nel tempo. La discrezionalità molecolare può essere trascurata quando il cammino libero medio molecolare è molto più piccolo della dimensione caratteristica dell'apparecchiatura o del flusso.
La misura rilevante è il numero di Knudsen:
[ Kn=\frac{\ell_0}{L} ]
dove (\ell_0) è il cammino libero medio molecolare e (L) è una dimensione caratteristica. Un (Kn) molto piccolo supporta la modellazione del continuo; valori più grandi potrebbero richiedere descrizioni di gas rarefatti o cinetiche.
Tensore degli sforzi simmetrico
Si assume che il tensore degli sforzi di Cauchy sia simmetrico quando il bilancio locale del momento angolare non include coppie di forze o sforzi di coppia. Ciò è appropriato per i fluidi ordinari nella maggior parte delle condizioni di impianto pilota.
L'ipotesi dovrebbe essere riconsiderata per fluidi o ambienti operativi che coinvolgono effetti micropolari, forti interazioni elettromagnetiche o altri meccanismi in grado di generare coppie locali significative.
Comportamento isotropo del materiale
Si assume che un fluido isotropo abbia la stessa risposta costitutiva in ogni direzione. Sotto questa ipotesi, gli assi principali dello sforzo e della velocità di deformazione si allineano nel modo convenzionale utilizzato dalle equazioni costitutive standard dei fluidi.
Questo è solitamente ragionevole per fluidi semplici a riposo, ma può fallire per liquidi strutturati, sistemi a cristalli liquidi, sospensioni con microstruttura direzionale e alcuni fluidi polimerici.
Reologia newtoniana
L'ipotesi newtoniana impone una relazione lineare tra lo sforzo viscoso e il tensore della velocità di deformazione. In forma semplificata, lo sforzo viscoso è proporzionale alla velocità di deformazione derivata dal gradiente di velocità attraverso la viscosità dinamica (\mu).
Questa ipotesi deve essere testata piuttosto che dedotta dal fatto che il fluido sia un liquido. Fanghi, soluzioni polimeriche, paste, emulsioni, fluidi biologici e sospensioni concentrate possono mostrare fluidificazione (shear thinning), addensamento (shear thickening), sforzo di snervamento, viscoelasticità o comportamento dipendente dal tempo.
Ipotesi di Stokes
Le formulazioni standard per flussi comprimibili utilizzano spesso l'ipotesi di Stokes, che pone il contributo della viscosità di volume a zero o lo mette in relazione con la viscosità di taglio. La logica fisica è che il rilassamento dell'energia interna è rapido rispetto alla scala temporale della deformazione.
Si tratta di un'approssimazione di modellazione, non di una legge universale. Può risultare inaffidabile in flussi fortemente comprimibili, flussi con onde d'urto, gas poliatomici e situazioni in cui la dilatazione per pressione o la dissipazione viscosa di volume sono importanti.
Stato termodinamico locale
Il principio dello stato locale assume che a ogni piccolo elemento di fluido possano essere assegnate proprietà termodinamiche simili all'equilibrio basate sulle sue variabili di stato locali. In effetti, l'equazione di stato e le correlazioni delle proprietà utilizzate in un punto sono trattate come quelle di un sistema corrispondente a riposo nelle stesse condizioni locali.
Ciò richiede che il rilassamento locale avvenga sufficientemente rapidamente rispetto al processo di trasporto macroscopico. Forti non-equilibri, transitori molto rapidi o flussi su microscala possono invalidare questa chiusura.
Il numero di variabili di stato
Per un fluido semplice, monofase e non reagente, due variabili intensive indipendenti, comunemente pressione e temperatura, possono definire lo stato termodinamico. Tale ipotesi è insufficiente per miscele, sistemi reagenti o flussi con diffusione di specie.
Un modello di miscela può richiedere variabili di composizione, mentre un modello multifase richiede frazioni di fase, relazioni interfacciali e leggi di chiusura aggiuntive. Questi effetti devono essere rappresentati esplicitamente quando influenzano materialmente la densità, l'entalpia, la quantità di moto o il trasferimento di calore.
Conduzione di calore di Fourier
La legge di Fourier assume che il flusso di calore conduttivo sia proporzionale al gradiente di temperatura locale:
[ \mathbf{q}=-\lambda\nabla T ]
Presuppone che il flusso di calore risponda localmente e istantaneamente al campo di temperatura. Ciò è appropriato per la maggior parte delle apparecchiature convenzionali su scala pilota, ma può diventare discutibile in applicazioni su microscala, altamente transitorie o fortemente fuori equilibrio.
La conducibilità termica (\lambda) deve anche essere appropriata per il fluido, l'intervallo di temperatura, l'intervallo di pressione e la composizione.
Fonti di calore esterne e interne
L'equazione dell'energia deve includere la generazione di calore volumetrico quando è fisicamente significativa. Le possibili fonti includono reazioni chimiche, assorbimento di radiazioni, riscaldamento Joule, dissipazione elettrica e altri meccanismi sorgente.
Trascurare questi termini è valido solo dopo aver dimostrato che sono trascurabili rispetto alla convezione, alla conduzione, al trasferimento di calore alle pareti e ad altri termini mantenuti.
Verificare le estensioni del regime di flusso
La turbolenza richiede una chiusura aggiuntiva
Le equazioni standard di Navier-Stokes laminari e dell'energia non prevedono automaticamente gli effetti delle fluttuazioni turbolente non risolte. I modelli di turbolenza mediati da Reynolds o altri introducono ipotesi aggiuntive, comunemente attraverso una viscosità turbolenta e una diffusività termica turbolenta.
Una relazione frequentemente utilizzata è:
[ \lambda_{\mathrm{eff}}=\lambda_m+\lambda_t ]
con
[ \lambda_t=\frac{c_p\mu_t}{Pr_t} ]
dove (\lambda_m) è la conducibilità molecolare, (\mu_t) è la viscosità turbolenta e (Pr_t) è il numero di Prandtl turbolento.
Il modello di turbolenza selezionato e il numero di Prandtl turbolento dovrebbero essere convalidati per la geometria, il numero di Reynolds, la galleggiabilità, la curvatura, il vortice e le condizioni al contorno termiche dell'impianto pilota.
Il trasferimento di calore vicino alla parete necessita di un trattamento separato
Vicino a una parete solida, il trasferimento di calore può passare attraverso un sottostrato termico dominato dalla conduzione prima di entrare in una regione turbolenta. Il sottostrato termico non ha necessariamente lo stesso spessore del sottostrato viscoso.
Le funzioni di parete, i modelli a basso numero di Reynolds o le mesh risolte vicino alla parete devono quindi essere coerenti con il trattamento della turbolenza e del trasferimento di calore scelto. Un trattamento errato della parete può dominare il coefficiente di trasferimento di calore complessivo previsto.
Le ipotesi di comprimibilità devono essere esplicite
Per molti sistemi di impianti pilota subsonici, le fluttuazioni di pressione possono essere trattate come meno importanti delle variazioni di temperatura e densità, in particolare quando si utilizzano approssimazioni a basso numero di Mach o dello strato limite. Tali semplificazioni devono comunque essere verificate rispetto alle velocità operative, alle variazioni di pressione e alla comprimibilità del fluido.
Non sono automaticamente valide per sistemi a gas ad alta velocità, forti onde di pressione, espansione rapida o flussi con significativi effetti di dilatazione per pressione.
Le condizioni al contorno fanno parte della fisica
Un modello di trasporto matematicamente corretto può comunque produrre risultati fisicamente errati se le condizioni al contorno non rappresentano l'apparecchiatura. Le condizioni termiche comuni includono:
- Condizioni di Dirichlet: temperatura della parete o dell'ingresso prescritta.
- Condizioni di Neumann: flusso di calore prescritto o parete isolata.
- Condizioni di Robin: una relazione tra temperatura superficiale e flusso di calore, che spesso rappresenta la convezione attraverso un'interfaccia.
La velocità di ingresso o le condizioni di portata massica, le condizioni di pressione in uscita, il comportamento di non-scivolamento alla parete, la rugosità della parete e la resistenza al contatto termico devono riflettere allo stesso modo la configurazione reale dell'impianto pilota.
Comprendere i compromessi
L'ipotesi di Stokes è conveniente ma incerta
L'utilizzo di una viscosità di volume nulla semplifica il modello degli sforzi ed è spesso adeguato per i flussi ingegneristici ordinari. Tuttavia, può omettere meccanismi di dissipazione che contano nei fluidi comprimibili o che si rilassano rapidamente.
L'ipotesi dovrebbe essere documentata e testata tramite analisi di sensibilità quando i dati sulla viscosità di volume o gli effetti di comprimibilità sono importanti.
Il comportamento newtoniano può fallire durante lo scale-up
Un fluido può apparire newtoniano in un test di laboratorio ma mostrare un comportamento diverso su scala pilota perché cambiano l'intervallo di velocità di deformazione rilevante, il tempo di residenza, la distribuzione della temperatura o la composizione.
La reologia dovrebbe quindi essere misurata negli intervalli di velocità di deformazione e temperature previsti in tubi, giranti, letti impaccati, valvole e regioni di trasferimento di calore.
I dati sulle proprietà possono limitare l'accuratezza più della discretizzazione
Per miscele liquide complesse, le proprietà di trasporto potrebbero non essere previste in modo affidabile da semplici correlazioni molecolari. Possono essere necessarie misurazioni sperimentali o correlazioni accuratamente selezionate per viscosità, conducibilità termica, capacità termica, densità e coefficienti di diffusione.
Una mesh raffinata non può compensare dati sulle proprietà inaccurati.
I modelli monofase standard escludono fenomeni importanti
Una formulazione monofase a due variabili di stato non può descrivere da sola il cambiamento di fase, goccioline disperse, bolle, solidi, diffusione di specie o reazioni chimiche. Applicarla a tali sistemi può produrre risultati dall'aspetto plausibile ma fisicamente incompleti.
Il modello dovrebbe essere ampliato quando questi fenomeni influenzano l'output target, come la caduta di pressione, la conversione, la distribuzione del tempo di residenza, il fouling o il tasso di trasferimento di calore.
La convalida deve includere esperimenti
I benchmark analitici come il flusso laminare nei tubi e le soluzioni dello strato limite sono controlli utili, ma non stabiliscono che un modello di impianto pilota sia accurato per l'intera operazione unitaria.
La convalida dovrebbe confrontare le previsioni rilevanti con portate misurate, perdite di pressione, temperature, carichi termici, tempi di miscelazione o dati di conversione in condizioni operative rappresentative.
Fare la scelta giusta per il proprio obiettivo
La profondità di convalida appropriata dipende dalla quantità che il modello deve prevedere.
- Se l'obiettivo principale è la caduta di pressione o il dimensionamento della pompa: Confermare il comportamento del continuo, la geometria e le condizioni al contorno, la reologia del fluido, i dati di densità e viscosità, la rugosità della parete e il trattamento della turbolenza o della resistenza del letto impaccato.
- Se l'obiettivo principale è la performance dello scambiatore di calore o della camicia: Convalidare la conducibilità termica, la capacità termica, le condizioni di parete e interfaccia, il trattamento vicino alla parete, le proprietà dipendenti dalla temperatura e tutti i termini significativi di generazione di calore.
- Se l'obiettivo principale è lo scale-up del reattore o del separatore: Determinare se reazione, diffusione di specie, cambiamento di fase, flusso multifase, reologia non newtoniana o limitazioni di miscelazione richiedono equazioni oltre il modello monofase standard.
- Se l'obiettivo principale è il funzionamento con gas ad alta velocità o transitorio: Rivalutare la comprimibilità, la viscosità di volume, le ipotesi di equilibrio locale, gli effetti di dilatazione per pressione e l'applicabilità delle chiusure convenzionali per turbolenza e flusso di calore.
Un modello di trasporto diventa affidabile quando ogni ipotesi semplificativa è legata a un regime fisico misurabile e supportata da dati sulle proprietà, evidenze sulle condizioni al contorno e convalida dell'impianto pilota.
Tabella riassuntiva:
| Ipotesi o fattore | Cosa convalidare | Quando è necessaria una modellazione aggiuntiva |
|---|---|---|
| Comportamento del continuo | Numero di Knudsen e scala del flusso | Flussi rarefatti o su microscala |
| Reologia del fluido | Comportamento newtoniano, viscosità, intervallo di velocità di deformazione | Fanghi, polimeri, paste, emulsioni e fluidi biologici |
| Chiusura termodinamica | Equazione di stato ed equilibrio locale | Transitori forti, miscele o flussi fuori equilibrio |
| Proprietà di trasporto | Densità, viscosità, capacità termica e conducibilità in condizioni operative | Miscele complesse o dati sulle proprietà limitati |
| Conduzione di calore | Applicabilità della legge di Fourier e conducibilità termica | Sistemi su microscala o altamente transitori |
| Turbolenza e pareti | Modello di turbolenza, numero di Prandtl turbolento e trattamento della parete | Flussi turbolenti, vorticosi, con galleggiabilità o fortemente riscaldati |
| Fasi e specie | Frazioni di fase, interfacce, diffusione e reazione | Sistemi multifase, reattivi, in evaporazione o separazione |
| Fonti e confini | Generazione di calore, condizioni di parete, rugosità e confini del flusso | Reazione, irraggiamento, riscaldamento Joule o condizioni incerte dell'apparecchiatura |
| Evidenza di convalida | Dati su pressione, temperatura, flusso, carico, miscelazione o conversione | Progettazione su scala pilota e decisioni di scale-up |
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