Il tensore degli sforzi viscosi è considerato simmetrico perché i fluidi ordinari non esercitano coppie microscopiche indipendenti. La conservazione del momento angolare su un elemento di fluido infinitesimo richiede quindi che gli sforzi di taglio su facce reciprocamente perpendicolari siano uguali, come (\tau_{xy}=\tau_{yx}). Ciò riduce le nove componenti di un tensore degli sforzi del secondo ordine a sei quantità indipendenti ed è valido per i fluidi convenzionali utilizzati nella maggior parte degli impianti pilota di unità operative.

Per i fluidi continui standard, la simmetria dello sforzo è una conseguenza della conservazione del momento angolare, non solo una convenzione matematica. L'ipotesi può fallire quando il fluido contiene strutture interne o è soggetto a coppie di forze di volume distribuite che esercitano una coppia indipendentemente dagli sforzi superficiali ordinari.

Perché viene utilizzata la simmetria dello sforzo

Il tensore degli sforzi rappresenta le forze superficiali

Il tensore degli sforzi di Cauchy descrive la forza che agisce attraverso una superficie immaginaria all'interno del fluido. I suoi termini diagonali sono sforzi normali, mentre i suoi termini fuori diagonale sono sforzi di taglio.

Nelle tre dimensioni, il tensore contiene inizialmente nove componenti:

[ \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix}. ]

Le componenti (\sigma_{xy}) e (\sigma_{yx}), ad esempio, descrivono gli sforzi associati a due orientamenti superficiali perpendicolari. Non sono automaticamente uguali solo perché utilizzano le stesse due direzioni di coordinate.

Il momento angolare impone il vincolo

Consideriamo un elemento di fluido rettangolare infinitesimo. Se (\tau_{xy}) e (\tau_{yx}) fossero disuguali, le loro forze produrrebbero una coppia netta attorno al terzo asse coordinato.

Per un elemento di fluido convenzionale senza coppia di volume indipendente, il momento angolare deve essere conservato. L'equilibrio rotazionale richiede quindi:

[ \tau_{xy}=\tau_{yx}, \qquad \tau_{xz}=\tau_{zx}, \qquad \tau_{yz}=\tau_{zy}. ]

La stessa conclusione si applica al tensore degli sforzi totale. Poiché il contributo della pressione è isotropo,

[ \boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau}, ]

e (-p\mathbf{I}) è già simmetrico, il tensore degli sforzi viscosi (\boldsymbol{\tau}) è simmetrico ogni volta che lo sforzo totale è simmetrico.

L'argomentazione dell'elemento infinitesimo

Le forze superficiali responsabili di una possibile coppia variano con le dimensioni dell'elemento in un modo che rimane significativo man mano che l'elemento si restringe. Al contrario, il momento d'inerzia dell'elemento varia con la sua lunghezza caratteristica alla quinta potenza, mentre il suo volume varia alla terza potenza.

Man mano che l'elemento si avvicina a dimensioni zero, il contributo dell'inerzia rotazionale diventa trascurabile rispetto alla coppia generata da uno squilibrio negli sforzi di taglio. Uno squilibrio di sforzo finito implicherebbe quindi una coppia non bilanciata nell'elemento di fluido limite, quindi le componenti fuori diagonale devono bilanciarsi.

Questa argomentazione presuppone che gli sforzi e le accelerazioni rimangano finiti e che nessuna coppia microscopica separata agisca all'interno del materiale.

Perché questo è importante nell'analisi degli impianti pilota

Le equazioni costitutive diventano più semplici

Per un fluido newtoniano isotropo, lo sforzo viscoso è correlato al tasso di deformazione da

[ \boldsymbol{\tau}

2\mu\mathbf{D} + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I}, ]

dove

[ \mathbf{D}

\frac{1}{2} \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^{T} \right] ]

è il tensore simmetrico del tasso di deformazione.

Poiché (\mathbf{D}) è simmetrico, anche lo sforzo viscoso newtoniano è simmetrico. Per un fluido incomprimibile, (\nabla\cdot\mathbf{v}=0), lasciando che gli sforzi di taglio e normali siano controllati principalmente dalla viscosità dinamica (\mu).

Le unità operative standard soddisfano l'ipotesi

L'ipotesi è appropriata per i fluidi di lavoro comuni negli impianti pilota, tra cui:

Aria e altri gas ordinari
Acqua e liquidi newtoniani convenzionali
Molte soluzioni polimeriche
Sospensioni e fanghi tipici, quando trattati come fluidi continui
Fluidi in esperimenti di flusso in tubi, scambiatori di calore, miscelazione e flusso in colonna

In queste condizioni, le solite equazioni della quantità di moto descrivono correttamente la caduta di pressione, lo sforzo alla parete, i profili di velocità, gli sforzi di miscelazione e il flusso attraverso le apparecchiature di processo.

Lo sforzo simmetrico è diverso dalla rotazione zero

Un tensore degli sforzi viscosi simmetrico non significa che l'elemento di fluido non possa ruotare. Il gradiente di velocità può essere scomposto in una parte simmetrica di tasso di deformazione e una parte antisimmetrica di rotazione del corpo rigido:

[ \nabla\mathbf{v}

\mathbf{D} + \mathbf{W}, ]

dove (\mathbf{D}) descrive la deformazione e (\mathbf{W}) descrive la rotazione locale.

La parte antisimmetrica del gradiente di velocità rappresenta la vorticità o la rotazione del corpo rigido. Non è, di per sé, uno sforzo viscoso antisimmetrico.

Quando l'ipotesi decade

Fluidi con coppie di volume

La simmetria dello sforzo può fallire quando un fluido subisce una coppia di volume distribuita, a volte chiamata coppia di corpo. In tal caso, il momento angolare può essere bilanciato sia dagli sforzi superficiali ordinari che da una coppia indipendente che agisce in tutto il volume del fluido.

L'equilibrio del momento angolare consente quindi:

[ \sigma_{ij}\ne\sigma_{ji}. ]

Un modello completo può richiedere termini aggiuntivi di sforzo di coppia e, in alcune teorie, un'equazione di bilancio separata per la rotazione della microstruttura del fluido.

Fluidi polari e micropolari

I fluidi polari o micropolari contengono costituenti interni in grado di ruotare indipendentemente dal campo di velocità globale. Esempi possono includere fluidi con particelle asimmetriche sospese, microfluidi strutturati o materiali modellati utilizzando teorie del continuo di tipo Cosserat.

Per questi fluidi, un elemento locale può possedere un grado di libertà rotazionale intrinseco. La relazione costitutiva newtoniana classica è quindi insufficiente e la parte antisimmetrica dello sforzo può trasportare informazioni fisiche anziché essere forzata a zero.

Ferrofluidi e campi imposti esternamente

I ferrofluidi contengono particelle magnetiche che possono interagire con un campo magnetico applicato. Le coppie magnetiche possono ruotare le particelle e trasferire il momento angolare al fluido.

In un modello che tratta gli effetti magnetici come una coppia di volume, il tensore degli sforzi meccanici non deve necessariamente essere simmetrico. La formulazione esatta dipende dal fatto che il contributo magnetico sia incluso nello sforzo del fluido, rappresentato attraverso termini di forza di volume e coppia di volume, o incorporato in un bilancio di sforzo elettromagnetico più ampio.

Effetti elettromagnetici e altri effetti del continuo

I campi esterni possono creare forze e coppie alla scala del continuo. Considerazioni simili sorgono in alcuni fluidi elettricamente conduttivi, cristalli liquidi, sospensioni con rotazione attiva delle particelle e altri materiali strutturati.

Il problema chiave non è semplicemente che il fluido sia non newtoniano. Molti fluidi non newtoniani hanno ancora un tensore degli sforzi di Cauchy simmetrico. Il fallimento si verifica quando il modello del materiale include momento angolare indipendente, sforzi di coppia o coppie di volume.

Comprendere i compromessi

L'ipotesi è efficiente ma condizionale

L'utilizzo di un tensore degli sforzi simmetrico riduce il numero di componenti di sforzo indipendenti da nove a sei. Ciò semplifica sostanzialmente le equazioni costitutive, le condizioni al contorno, le implementazioni numeriche e l'interpretazione delle misurazioni su scala pilota.

La semplificazione è giustificata per i fluidi ordinari perché le loro rotazioni molecolari interne non producono coppie risolvibili separatamente alla scala dell'apparecchiatura.

Il comportamento non newtoniano non invalida automaticamente la simmetria

La viscoelasticità, il comportamento pseudoplastico (shear-thinning), dilatante (shear-thickening) e di sforzo di snervamento cambiano la relazione tra sforzo e deformazione. Non rendono necessariamente asimmetrico il tensore degli sforzi.

Uno sforzo asimmetrico richiede un meccanismo fisico più specifico, come la rotazione interna delle particelle o una coppia di volume applicata.

La validità del continuo è un requisito separato

La simmetria dello sforzo presuppone una descrizione del continuo in cui i campi di sforzo e velocità locali sono significativi. Tale descrizione è affidabile quando il numero di Knudsen,

[ \mathrm{Kn}=\frac{\ell_0}{\ell}, ]

è sufficientemente piccolo, con (\ell_0) come cammino libero medio molecolare e (\ell) come lunghezza caratteristica dell'apparecchiatura.

A scale molto piccole o in gas rarefatti, le equazioni del continuo stesse possono diventare inadeguate. Questo è un fallimento del modello del continuo, distinto da un fallimento della simmetria del momento angolare all'interno della meccanica del continuo.

La contabilità elettromagnetica può causare confusione

Un tensore degli sforzi meccanici può apparire asimmetrico se le forze e le coppie elettromagnetiche sono rappresentate separatamente. Il bilancio del momento angolare totale fisicamente rilevante può ancora essere coerente una volta inclusi tutti i contributi di campo, forza di volume, coppia di volume e sforzo superficiale.

Pertanto, l'apparente asimmetria deve essere interpretata all'interno della definizione di sforzo scelta e della formulazione della legge di bilancio.

Come applicarlo all'analisi degli impianti pilota

Per la maggior parte dei calcoli delle unità operative, l'ipotesi dello sforzo viscoso simmetrico è il punto di partenza corretto:

Se il tuo obiettivo principale è il flusso in tubi convenzionale o la caduta di pressione: Usa un modello di sforzo newtoniano simmetrico o un modello newtoniano generalizzato appropriato, con viscosità selezionata per il fluido e le condizioni operative.
Se il tuo obiettivo principale è lo scambio termico o la miscelazione con liquidi ordinari: Tratta lo sforzo viscoso come simmetrico e valuta separatamente se la dissipazione viscosa è abbastanza grande da influenzare il bilancio energetico.
Se il tuo obiettivo principale sono soluzioni polimeriche, fanghi o altri fluidi non newtoniani: Modifica la relazione costitutiva per la reologia del materiale, ma non presumere l'asimmetria a meno che il fluido non abbia una struttura rotazionale indipendente o coppie di volume applicate.
Se il tuo obiettivo principale sono ferrofluidi, cristalli liquidi, microfluidi carichi di particelle o materiali sensibili ai campi: Verifica se il modello di riferimento include coppie di volume, sforzi di coppia o momento angolare microstrutturale prima di imporre la simmetria dello sforzo.
Se il tuo obiettivo principale è il flusso su microscala o di gas rarefatto: Verifica l'ipotesi del continuo utilizzando il numero di Knudsen prima di fare affidamento sulle equazioni convenzionali del tensore degli sforzi.

Per i fluidi standard degli impianti pilota, la simmetria dello sforzo è una conseguenza fisicamente giustificata della conservazione del momento angolare; i fluidi specializzati richiedono una legge di bilancio e un modello costitutivo che tengano conto esplicitamente delle loro coppie aggiuntive.

Tabella riassuntiva:

Argomento	Punto chiave
Perché si applica la simmetria	La conservazione del momento angolare richiede sforzi di taglio complementari uguali quando non esiste una coppia di volume indipendente.
Modello standard	I fluidi newtoniani e molti non newtoniani utilizzano un tensore degli sforzi viscosi simmetrico.
Rilevanza per l'impianto pilota	L'ipotesi supporta l'analisi del flusso in tubi, caduta di pressione, miscelazione, scambio termico e operazioni in colonna.
Quando può fallire	Coppie di volume, sforzi di coppia, fluidi micropolari, ferrofluidi, cristalli liquidi e microstrutture rotanti possono produrre sforzi asimmetrici.
Considerazione separata	I flussi rarefatti o su microscala possono richiedere la verifica della validità del continuo con il numero di Knudsen.
Guida pratica	Modifica il modello costitutivo solo quando il momento angolare indipendente o la coppia distribuita sono fisicamente presenti.

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