Per il flusso laminare completamente sviluppato in una tubazione circolare, la perdita di pressione e la distribuzione della velocità si calcolano mediante la soluzione di Hagen–Poiseuille. Quando il numero di Reynolds è inferiore a circa 2.300, la velocità media e la perdita di pressione per attrito sono correlate linearmente: (\Delta P = 32\mu L\bar{u}/D^2). Il profilo di velocità è parabolico, con una velocità sull'asse pari al doppio della velocità media sulla sezione trasversale.
Concetto chiave: Nel flusso laminare in tubazione degli impianti pilota, la viscosità controlla la perdita di pressione e la rugosità della parete della tubazione non ha un effetto diretto sul fattore di attrito per il flusso completamente sviluppato. Una volta note la perdita di pressione, le dimensioni della tubazione e le proprietà del fluido, la velocità di flusso può essere calcolata direttamente senza iterare su una correlazione del fattore di attrito per il flusso turbolento.
Definizione delle basi del flusso laminare
Calcolare il numero di Reynolds
Il regime di flusso viene identificato utilizzando il numero di Reynolds della tubazione:
[ Re=\frac{\rho \bar{u}D}{\mu} ]
dove:
- (\rho) è la densità del fluido,
- (\bar{u}) è la velocità media nella tubazione,
- (D) è il diametro interno della tubazione,
- (\mu) è la viscosità dinamica.
Per le tubazioni circolari, il flusso viene generalmente considerato laminare quando (Re<2{,}300). L'intervallo di transizione non è definito in modo netto, pertanto gli impianti pilota dovrebbero evitare di basarsi su un valore limite quando è importante garantire un comportamento operativo stabile.
Confermare l'ipotesi di flusso completamente sviluppato
Le equazioni di Hagen–Poiseuille si applicano dopo che il profilo di velocità si è sviluppato a valle di un ingresso, raccordo, valvola, pompa o altra perturbazione.
In prossimità dell'ingresso e a valle dei raccordi, il flusso può essere in fase di sviluppo o localmente perturbato. Queste regioni richiedono stime separate delle perdite all'ingresso o delle perdite nei raccordi e non dovrebbero essere rappresentate esclusivamente mediante l'equazione della tubazione a flusso completamente sviluppato.
Calcolo della distribuzione della velocità
Utilizzare il profilo parabolico
Per una tubazione di raggio (R=D/2), la velocità assiale nella posizione radiale (r) è:
[ u(r)=u_{\max}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right) ]
Sull'asse della tubazione, (r=0), quindi:
[ u_{\max}=u(0) ]
Sulla parete, (r=R), la condizione di non scorrimento dà:
[ u(R)=0 ]
Questo profilo è la distribuzione caratteristica della velocità per il flusso laminare completamente sviluppato in una tubazione circolare.
Mettere in relazione la velocità sull'asse con la velocità media
La velocità media sulla sezione trasversale è:
[ \bar{u}=\frac{1}{A}\int_A u,dA ]
Per il profilo parabolico, l'integrazione dà:
[ u_{\max}=2\bar{u} ]
Pertanto, la distribuzione della velocità può essere scritta anche come:
[ u(r)=2\bar{u}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right) ]
Il profilo è più veloce al centro e diminuisce continuamente fino a zero sulla parete.
Convertire la velocità in portata volumetrica
Una volta nota la velocità media, la portata volumetrica è:
[ Q=\bar{u}A ]
Per una tubazione circolare:
[ Q=\bar{u}\frac{\pi D^2}{4} ]
La velocità sull'asse non deve essere utilizzata come velocità media del flusso nei calcoli relativi a pompe, dimensionamento delle tubazioni o portata. Utilizzare direttamente (u_{\max}) sovrastimerebbe la portata di un fattore due.
Calcolo della perdita di pressione
Utilizzare l'equazione di Hagen–Poiseuille
Per una tubazione circolare rettilinea che trasporta un fluido newtoniano in condizioni di flusso laminare completamente sviluppato:
[ \Delta P_f=\frac{32\mu L\bar{u}}{D^2} ]
In alternativa, in funzione della portata volumetrica:
[ \Delta P_f=\frac{128\mu LQ}{\pi D^4} ]
dove (\Delta P_f) è la perdita di pressione per attrito e (L) è la lunghezza della tubazione.
Queste equazioni mostrano il comportamento fondamentale del flusso laminare:
[ \Delta P_f\propto \bar{u} ]
La perdita di pressione è direttamente proporzionale alla velocità media, a differenza della relazione approssimativamente quadratica comunemente utilizzata per il flusso completamente turbolento.
Calcolare il gradiente di pressione
La perdita di pressione per unità di lunghezza della tubazione è:
[ -\frac{dP}{dz}=\frac{32\mu\bar{u}}{D^2} ]
Per una tubazione uniforme, il gradiente di pressione è costante lungo la sezione a flusso completamente sviluppato.
Il segno negativo indica che la pressione diminuisce nella direzione del flusso. Nei calcoli ingegneristici, (\Delta P_f) viene generalmente riportata come valore positivo della perdita.
Utilizzare la forma con il fattore di attrito
Utilizzando il fattore di attrito di Darcy, comunemente indicato con (\lambda):
[ \lambda=\frac{64}{Re} ]
L'equazione di Darcy–Weisbach per la perdita di pressione è:
[ \Delta P_f=\lambda\frac{L}{D}\frac{\rho\bar{u}^2}{2} ]
Sostituendo (\lambda=64/Re) e (Re=\rho\bar{u}D/\mu) si ottiene:
[ \Delta P_f
\frac{32\mu L\bar{u}}{D^2} ]
Pertanto, le forme con il fattore di attrito e di Hagen–Poiseuille sono equivalenti quando si utilizza la stessa convenzione per il fattore di attrito.
Distinguere i fattori di Darcy e di Fanning
Il risultato (\lambda=64/Re) si applica al fattore di attrito di Darcy.
Il corrispondente fattore di attrito di Fanning è:
[ f_F=\frac{16}{Re} ]
Confondere queste due definizioni produce un errore di un fattore quattro nella perdita di pressione calcolata. La documentazione dell'impianto pilota dovrebbe specificare quale convenzione viene utilizzata.
Calcolo della velocità a partire da una perdita di pressione specificata
Calcolare direttamente la velocità nel regime laminare
Riordinando l'equazione di Hagen–Poiseuille si ottiene:
[ \bar{u}=\frac{\Delta P_fD^2}{32\mu L} ]
La portata volumetrica corrispondente è:
[ Q=\frac{\pi D^2}{4}\bar{u} ]
oppure:
[ Q=\frac{\pi D^4\Delta P_f}{128\mu L} ]
Questa soluzione diretta è una caratteristica importante del flusso laminare. La perdita di pressione non richiede un calcolo iterativo del fattore di attrito, poiché il fattore di attrito è già stato ridotto alla relazione esplicita (64/Re).
Verificare il numero di Reynolds risultante
Dopo aver calcolato (\bar{u}), valutare:
[ Re=\frac{\rho\bar{u}D}{\mu} ]
Il risultato deve rimanere nell'intervallo laminare previsto. Se il valore calcolato si avvicina alla regione di transizione o la supera, il risultato di Hagen–Poiseuille non è più sufficiente per una progettazione affidabile.
Utilizzare il gruppo della perdita di pressione quando il regime è incerto
Per calcoli più generali del flusso nelle tubazioni, è possibile formare un gruppo indipendente dalla velocità:
[ \phi Re^2= \frac{\Delta P_fD^3\rho}{4L\mu^2} ]
L'interpretazione esatta di (\phi) dipende dalla notazione del fattore di attrito utilizzata dalla fonte o dal diagramma. Pertanto, è necessario verificarne la definizione prima di applicare un diagramma di attrito.
Per un caso confermato di flusso laminare in una tubazione circolare, l'uso diretto di:
[ \bar{u}=\frac{\Delta P_fD^2}{32\mu L} ]
è più chiaro e meno soggetto a errori rispetto alla lettura di (Re) da un diagramma generalizzato.
Collegamento del calcolo al funzionamento dell'impianto pilota
Determinare la prevalenza della pompa
La perdita di pressione per attrito può essere convertita in perdita di carico per attrito:
[ h_f=\frac{\Delta P_f}{\rho g} ]
dove (g) è l'accelerazione gravitazionale.
La pompa deve inoltre superare le variazioni di quota, le differenze di pressione tra le apparecchiature, i raccordi, le valvole, gli scambiatori di calore e le altre perdite del sistema. La perdita di Hagen–Poiseuille nella tubazione rettilinea è solo una componente del fabbisogno totale della pompa.
Tenere conto delle proprietà del fluido
La perdita di pressione laminare dipende fortemente dalla viscosità dinamica:
[ \Delta P_f\propto\mu ]
Le variazioni di temperatura possono quindi modificare sostanzialmente la perdita di pressione, soprattutto per i liquidi viscosi. I calcoli dell'impianto pilota dovrebbero utilizzare la viscosità alla temperatura operativa effettiva anziché un valore predefinito o misurato a temperatura ambiente.
Utilizzare il diametro interno della tubazione
Poiché la perdita di pressione varia con (D^{-2}) a una velocità media specificata, mentre la forma in funzione della portata varia con (D^{-4}), piccoli errori nel diametro possono influire significativamente sul risultato.
Il diametro interno dovrebbe tenere conto delle specifiche effettive del tubo o della tubazione, del rivestimento, del sovrametallo per corrosione quando pertinente e di eventuali restrizioni create da raccordi o strumentazione.
Confrontare i valori misurati e previsti
Un impianto pilota offre un'opportunità utile per convalidare il modello mediante prese di pressione e un misuratore di portata.
Il confronto dovrebbe tenere conto della distanza tra le prese di pressione, della quota, della calibrazione degli strumenti, dei raccordi presenti nella sezione misurata, degli effetti del flusso in sviluppo e delle variazioni della temperatura del fluido. Una differenza di pressione misurata attraverso un modulo completo può includere molto più della sola frizione nella tubazione rettilinea.
Comprendere i compromessi
Il modello presuppone un comportamento newtoniano
L'equazione di Hagen–Poiseuille utilizza una viscosità dinamica costante. È appropriata per liquidi newtoniani quando la viscosità è caratterizzata con sufficiente accuratezza.
Soluzioni polimeriche, sospensioni, emulsioni e altri fluidi non newtoniani possono richiedere un modello reologico e una relazione diversa tra perdita di pressione e portata.
Il flusso completamente sviluppato esclude le perdite localizzate
Valvole, gomiti, tee, riduzioni, ingressi, uscite e misuratori di portata creano perdite di pressione localizzate. Queste vengono comunemente rappresentate mediante coefficienti di perdita:
[ \Delta P_{\text{minor}}=K\frac{\rho\bar{u}^2}{2} ]
La perdita di pressione totale del sistema è quindi:
[ \Delta P_{\text{total}}
\Delta P_f+\sum\Delta P_{\text{minor}}+\Delta P_{\text{elevation}}+\Delta P_{\text{equipment}} ]
L'equazione per la tubazione a flusso completamente sviluppato non dovrebbe essere utilizzata per inglobare tutti questi effetti senza le opportune precisazioni.
La rugosità non è una correzione laminare di primo ordine
Per il flusso laminare completamente sviluppato, il fattore di attrito è:
[ \lambda=\frac{64}{Re} ]
ed è indipendente dalla rugosità relativa nel consueto modello ingegneristico. La rugosità può comunque avere rilevanza a causa di difetti di fabbricazione, incrostazioni, depositi o perturbazioni che invalidano l'ipotesi idealizzata di superficie liscia e flusso completamente sviluppato.
La transizione introduce incertezza
L'intervallo vicino alla transizione da laminare a turbolento è sensibile alle perturbazioni e alle condizioni operative. Un impianto pilota può presentare un comportamento diverso da quello previsto da una correlazione ideale a causa di pulsazioni della pompa, raccordi a monte, ricircolo o variazioni delle proprietà del fluido.
La progettazione dovrebbe evitare di considerare un numero di Reynolds di transizione come definitivamente laminare o turbolento.
Come applicare questo metodo al proprio impianto pilota
Utilizzare la seguente sequenza per valutare una sezione di tubazione circolare:
- Se l'obiettivo principale è prevedere la perdita di pressione: Calcolare (Re), confermare il flusso laminare completamente sviluppato e utilizzare (\Delta P_f=32\mu L\bar{u}/D^2).
- Se l'obiettivo principale è determinare la velocità a partire da una perdita di pressione nota: Utilizzare (\bar{u}=\Delta P_fD^2/(32\mu L)), quindi verificare il numero di Reynolds risultante.
- Se l'obiettivo principale è determinare la portata volumetrica: Convertire la velocità media utilizzando (Q=\bar{u}\pi D^2/4), considerando il diametro interno effettivo.
- Se l'obiettivo principale è selezionare la pompa: Sommare l'attrito nella tubazione rettilinea, le perdite nei raccordi, le perdite nelle apparecchiature, le variazioni di quota e la pressione richiesta a valle.
- Se l'obiettivo principale è la convalida sperimentale: Misurare la pressione su una lunghezza nota di tubazione rettilinea e confrontare il gradiente di pressione con (32\mu\bar{u}/D^2).
- Se l'obiettivo principale riguarda il funzionamento non newtoniano o transitorio: Considerare il risultato di Hagen–Poiseuille come un riferimento limitato e utilizzare un modello appropriato al fluido e al regime di flusso.
Con le proprietà corrette del fluido, le dimensioni della tubazione, il regime di flusso e i confini del sistema, il flusso laminare negli impianti pilota può essere calcolato direttamente e interpretato con affidabilità.
Tabella riepilogativa:
| Calcolo | Formula | Nota ingegneristica principale |
|---|---|---|
| Numero di Reynolds | Re = rho u-bar D / mu |
Il flusso laminare è generalmente Re < 2,300. |
| Profilo di velocità | u(r) = 2u-bar[1 - (r/R)^2] |
Il profilo è parabolico; la velocità sulla parete è nulla. |
| Velocità sull'asse | u-max = 2u-bar |
Non utilizzare la velocità sull'asse come velocità media del flusso. |
| Perdita di pressione | Delta P-f = 32muL u-bar / D^2 |
Valida per un fluido newtoniano e un flusso laminare completamente sviluppato. |
| Forma in funzione della portata | Delta P-f = 128muLQ / (piD^4) |
Piccole variazioni del diametro interno possono influire significativamente sulla perdita. |
| Fattore di attrito di Darcy | lambda = 64/Re |
Non confonderlo con il fattore di Fanning, 16/Re. |
| Prevalenza per attrito della pompa | h-f = Delta P-f / (rho g) |
Aggiungere le perdite nei raccordi e nelle apparecchiature, le variazioni di quota e le perdite dovute alla pressione richiesta. |
| Limiti operativi | Convalidare gli effetti della temperatura, della reologia e della transizione | Il flusso non newtoniano, in sviluppo o transitorio richiede ulteriori analisi. |
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