I numeri di Prandtl, Schmidt e Lewis aiutano gli ingegneri a confrontare le velocità di trasporto della quantità di moto, del calore e delle specie. Negli impianti pilota, questi rapporti rivelano quale strato limite controlla il trasferimento simultaneo di calore e di massa, supportano le correlazioni per i coefficienti di trasferimento di calore e di massa e forniscono una base per confrontare le prestazioni a diverse scale operative. Sono particolarmente utili negli scambiatori di calore, nelle apparecchiature di essiccazione, nelle torri di assorbimento, nei sistemi di umidificazione, nelle colonne di distillazione e nei reattori incamiciati.
Il valore fondamentale di questi parametri adimensionali consiste nel convertire le proprietà dei fluidi in relazioni di trasporto. Confrontando le diffusività della quantità di moto, termica e molecolare, gli ingegneri possono determinare se il trasferimento di calore e di massa si comporta in modo simile, identificare le resistenze controllanti e selezionare correlazioni appropriate per lo scale-up.
Perché i rapporti di trasporto sono importanti negli impianti pilota
Tre processi di trasporto condividono un quadro comune
La quantità di moto, il calore e le specie vengono trasportati attraverso i fluidi mediante meccanismi descritti da diffusività con unità di metri quadrati al secondo.
- Diffusività della quantità di moto: (\nu = \mu/\rho)
- Diffusività termica: (\alpha = k/(\rho C_p))
- Diffusività di massa: (D_{AB})
Poiché queste grandezze hanno le stesse unità, i loro rapporti forniscono confronti diretti tra i meccanismi di trasporto.
Gli impianti pilota evidenziano i meccanismi di trasporto concorrenti
Un impianto pilota combina il moto del fluido con gradienti di temperatura e di concentrazione. Il fluido può muoversi rapidamente mentre il calore e le specie diffondono attraverso sottili strati limite vicino a pareti, particelle, gocce o interfacce gas-liquido.
I numeri adimensionali aiutano a determinare se la resistenza dominante è associata alla quantità di moto del fluido, alla conduzione termica o alla diffusione molecolare. Questo è più informativo del confronto separato dei valori grezzi di viscosità, conducibilità o diffusività.
Cosa rivela il numero di Prandtl
Il numero di Prandtl confronta la diffusione della quantità di moto e del calore
Il numero di Prandtl è
[ Pr = \frac{\nu}{\alpha} ]
Confronta la velocità con cui la quantità di moto diffonde attraverso un fluido con la velocità con cui diffonde l'energia termica.
Un valore basso o moderato indica che il calore si diffonde relativamente rapidamente rispetto alla quantità di moto. Un valore elevato indica che la quantità di moto diffonde più facilmente del calore, producendo uno strato limite termico che è generalmente più sottile dello strato limite di velocità.
Le proprietà del fluido influenzano fortemente il comportamento termico
Per molti gas, (Pr) è vicino all'unità, quindi il trasporto della quantità di moto e del calore avviene a velocità comparabili. Per l'acqua e molti solventi comuni, generalmente assume valori compresi tra circa 1 e 10.
Gli oli altamente viscosi e i fluidi polimerici possono avere numeri di Prandtl compresi approssimativamente tra (10^4) e (10^7). In questi fluidi, la diffusione termica è relativamente lenta, il che può generare gradienti di temperatura significativi negli scambiatori di calore, nei reattori e nelle apparecchiature di processo.
Il numero di Prandtl supporta le correlazioni per il trasferimento di calore
I dati sul trasferimento di calore degli impianti pilota vengono comunemente correlati utilizzando relazioni che coinvolgono i numeri di Nusselt, Reynolds e Prandtl, come
[ Nu = f(Re, Pr) ]
Il numero di Prandtl consente a una correlazione sviluppata per una determinata condizione operativa o per un determinato fluido di tenere conto delle variazioni di viscosità, conducibilità termica e capacità termica. Contribuisce quindi direttamente alla stima dei coefficienti convettivi di trasferimento di calore durante la progettazione e lo scale-up delle apparecchiature.
Cosa rivela il numero di Schmidt
Il numero di Schmidt confronta la diffusione della quantità di moto e della massa
Il numero di Schmidt è
[ Sc = \frac{\nu}{D_{AB}} ]
Confronta la diffusività della quantità di moto con la diffusività molecolare della specie (A) attraverso la specie (B).
Un numero di Schmidt elevato indica che la diffusione delle specie è lenta rispetto alla diffusione della quantità di moto. Ciò produce generalmente uno strato limite di concentrazione più sottile dello strato limite di velocità.
Il numero di Schmidt identifica la resistenza al trasferimento di massa
Nei processi di assorbimento, essiccazione, estrazione, umidificazione e distillazione, il numero di Schmidt aiuta a caratterizzare la rapidità con cui una specie può muoversi attraverso un film fluido.
Ad esempio, un liquido viscoso può avere un valore elevato di (Sc), indicando che la diffusione molecolare è relativamente debole. In tal caso, aumentare l'agitazione o la turbolenza può essere importante perché riduce la resistenza effettiva del film e aumenta il coefficiente di trasferimento di massa.
Il numero di Schmidt supporta le correlazioni di Sherwood
I dati sul trasferimento di massa vengono spesso rappresentati utilizzando i numeri di Sherwood, Reynolds e Schmidt:
[ Sh = f(Re, Sc) ]
Il numero di Sherwood confronta il trasferimento convettivo di massa con la diffusione molecolare. In un impianto pilota, (Sc) aiuta a trasformare le condizioni di flusso misurate e le proprietà del fluido in una stima utile del coefficiente di trasferimento di massa.
Cosa rivela il numero di Lewis
Il numero di Lewis confronta direttamente la diffusione del calore e della massa
Secondo la convenzione applicata qui, il numero di Lewis è
[ Le = \frac{\alpha}{D_{AB}} = \frac{Sc}{Pr} ]
Confronta direttamente la diffusività termica con la diffusività di massa.
Alcune fonti definiscono il reciproco, (D_{AB}/\alpha), quindi la convenzione deve essere sempre dichiarata. L'interpretazione fisica rimane invariata purché la definizione venga utilizzata in modo coerente.
Il numero di Lewis indica se il trasferimento di calore e di massa è analogo
Quando (Le) è vicino a 1, la diffusione termica e quella delle specie avvengono a velocità comparabili. In condizioni di proprietà costanti e quando gli effetti di termodiffusione e Dufour sono trascurabili, le equazioni dello strato limite dell'energia e delle specie diventano strutturalmente simili.
Ciò consente di utilizzare il comportamento del trasferimento di calore per contribuire all'interpretazione del comportamento del trasferimento di massa. Ad esempio, una correlazione termica misurata può fornire un punto di partenza per stimare le prestazioni del trasferimento di massa, purché la geometria del flusso e le ipotesi sulle proprietà pertinenti siano valide.
Il numero di Lewis è importante nelle operazioni accoppiate
L'essiccazione, l'umidificazione, l'assorbimento di gas e il raffreddamento evaporativo comportano un trasporto simultaneo di energia e specie. Il numero di Lewis aiuta a determinare se gli strati limite termico e di concentrazione hanno spessori simili o se uno dei due processi si propaga significativamente più rapidamente dell'altro.
Quando l'analogia è appropriata, le misure del trasferimento di calore possono semplificare l'elaborazione sperimentale dei dati relativi al trasferimento di massa. Gli ingegneri possono confrontare le correlazioni di Nusselt e Sherwood tenendo conto delle differenze tra (Pr) e (Sc).
Applicazione dei numeri all'analisi degli impianti pilota
Mettere in relazione gli spessori degli strati limite
I tre parametri aiutano a confrontare gli strati limite di velocità, termico e di concentrazione.
- (Pr) confronta il comportamento degli strati limite di velocità e termico.
- (Sc) confronta il comportamento degli strati limite di velocità e di concentrazione.
- (Le) confronta il comportamento degli strati limite termico e di concentrazione.
Questo confronto aiuta gli ingegneri a identificare dove si trova la resistenza principale e se migliorare la miscelazione, aumentare la velocità di flusso, modificare la temperatura o alterare le proprietà del fluido possa migliorare le prestazioni.
Convertire le misure in coefficienti di trasferimento
Gli impianti pilota misurano generalmente temperature, concentrazioni, portate, pressioni e dimensioni delle apparecchiature. Queste misure possono essere convertite in gruppi adimensionali e confrontate con correlazioni per (Nu), (Sh) e parametri di trasferimento correlati.
I coefficienti di trasferimento di calore e di massa così ottenuti possono quindi essere utilizzati nei bilanci delle apparecchiature, nei calcoli degli stadi, nei modelli a film e nei calcoli preliminari di scale-up.
Combinare i rapporti di trasporto con i parametri di flusso
I numeri di Prandtl, Schmidt e Lewis non descrivono l'intero processo. Vengono normalmente utilizzati insieme al numero di Reynolds, che caratterizza il regime di flusso, e ai numeri di Nusselt o Sherwood, che quantificano le prestazioni di trasferimento risultanti.
Ad esempio, un ingegnere può utilizzare
[ Nu = f(Re, Pr) ]
per il trasferimento di calore e
[ Sh = f(Re, Sc) ]
per il trasferimento di massa. Nei sistemi con reattori e letti impaccati, possono essere necessari ulteriori parametri, come i numeri di Péclet, Biot o Hatta, per descrivere la dispersione, la resistenza interna delle particelle o l'assorbimento potenziato dalla reazione.
Supportare le decisioni di scale-up
Le correlazioni adimensionali aiutano a determinare se un impianto pilota e un'unità più grande sperimentano un comportamento di trasporto comparabile. Il semplice dimensionamento geometrico o il confronto delle portate volumetriche non sono sufficienti se il sistema più grande presenta un numero di Reynolds, Prandtl, Schmidt o Lewis diverso.
Uno scale-up adeguatamente motivato considera quindi i gruppi adimensionali pertinenti e le ipotesi alla base della correlazione trasferita.
Comprendere i compromessi
L'analogia basata sul numero di Lewis è condizionata
L'analogia tra trasferimento di calore e di massa è più affidabile quando le proprietà sono approssimativamente costanti e la termodiffusione o l'accoppiamento di Dufour sono trascurabili. Una forte dipendenza dalla temperatura, variazioni di composizione, cambiamenti di fase, radiazione o reazioni chimiche possono rendere l'analogia inaccurata.
Una misura del trasferimento di calore dovrebbe quindi essere considerata uno strumento di supporto alla modellazione, non un sostituto automatico dei dati sul trasferimento di massa.
I valori delle proprietà possono variare all'interno dell'apparecchiatura
Viscosità, densità, conducibilità termica, capacità termica e diffusività molecolare possono cambiare significativamente con la temperatura e la composizione. L'utilizzo di proprietà valutate a una condizione di riferimento non appropriata può alterare (Pr), (Sc) e (Le) e, di conseguenza, falsare i coefficienti di trasferimento previsti.
Per l'analisi di un impianto pilota, le proprietà dovrebbero essere valutate a una temperatura e composizione di film, di massa o media adeguatamente giustificata.
Le correlazioni hanno intervalli operativi limitati
Una correlazione derivata per un flusso turbolento in un tubo liscio potrebbe non essere applicabile a una colonna di assorbimento impaccata, a un essiccatore a spruzzo, a un reattore multifase o a un fluido non newtoniano. Valori simili di (Pr), (Sc) o (Le) non garantiscono un'idrodinamica simile.
La geometria, il regime di flusso, le condizioni superficiali, la distribuzione delle fasi e la lunghezza caratteristica devono corrispondere all'applicazione prevista dalla correlazione.
Lo scale-up non può basarsi su un unico parametro
La corrispondenza del solo valore di (Le) non garantisce prestazioni equivalenti tra impianto pilota e impianto industriale. Anche il regime di flusso, la distribuzione dei tempi di residenza, l'area interfacciale, la dispersione assiale, la cinetica di reazione e la geometria dell'apparecchiatura possono controllare il risultato.
I rapporti di trasporto adimensionali fanno parte di un quadro di scale-up, ma non sostituiscono completamente la validazione specifica del processo.
Scegliere il parametro giusto per il proprio obiettivo
Utilizzare i parametri insieme ai dati operativi misurati e a correlazioni adatte alla geometria specifica dell'impianto pilota.
- Se l'obiettivo principale è la progettazione del trasferimento di calore: utilizzare (Pr) insieme a (Re) e (Nu) per stimare i coefficienti convettivi di trasferimento di calore e valutare il comportamento dello strato limite termico.
- Se l'obiettivo principale è l'assorbimento, l'essiccazione o la separazione: utilizzare (Sc) insieme a (Re) e (Sh) per valutare gli strati limite di concentrazione e la resistenza al trasferimento di massa.
- Se l'obiettivo principale è il trasferimento simultaneo di calore e di massa: utilizzare (Le = \alpha/D_{AB}) per determinare se il trasporto termico e quello delle specie possano essere trattati mediante un'analogia approssimata.
- Se l'obiettivo principale è lo scale-up: confrontare i gruppi adimensionali pertinenti tra l'impianto pilota e l'apparecchiatura più grande, verificando anche geometria, regime di flusso, comportamento delle fasi e variazioni delle proprietà.
- Se l'obiettivo principale è l'interpretazione sperimentale: utilizzare (Pr), (Sc) e (Le) per organizzare i dati e diagnosticare se la diffusione della quantità di moto, del calore o della massa controlla le prestazioni.
Utilizzati con correlazioni appropriate e ipotesi chiaramente dichiarate, questi numeri adimensionali trasformano le misure dell'impianto pilota in informazioni trasferibili sul comportamento del trasporto accoppiato.
Tabella riepilogativa:
| Parametro | Confronta | Applicazione principale | Informazione chiave |
|---|---|---|---|
| Prandtl (Pr) | Diffusività della quantità di moto e termica | Scambiatori di calore, reattori e progettazione termica | Indica il comportamento dello strato limite termico e supporta le correlazioni Nu = f(Re, Pr) |
| Schmidt (Sc) | Diffusività della quantità di moto e di massa | Assorbimento, essiccazione, estrazione, umidificazione e distillazione | Identifica la resistenza del film di concentrazione e supporta le correlazioni Sh = f(Re, Sc) |
| Lewis (Le) | Diffusività termica e di massa | Trasferimento simultaneo di calore e di massa | Mostra se il trasporto del calore e delle specie può essere trattato mediante un'analogia approssimata |
| Reynolds (Re) | Forze inerziali e viscose | Valutazione del regime di flusso e selezione delle correlazioni | Deve essere considerato insieme a Pr, Sc o Le durante la progettazione e lo scale-up |
| Revisione dello scale-up | Effetti del trasporto, del flusso, della geometria e delle proprietà | Confronto tra apparecchiature pilota e industriali | La corrispondenza di un solo numero adimensionale non garantisce prestazioni equivalenti |
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