I bilanci di materia si applicano trattando ogni unità dell'impianto pilota come un volume di controllo e selezionando solo le equazioni indipendenti. Per un sistema sequenziale di miscelatori e divisori, inizia con il bilancio complessivo allo stato stazionario, quindi analizza le singole unità o i sottosistemi con zero gradi di libertà. Un miscelatore richiede generalmente un bilancio indipendente per ogni componente chimico, mentre un divisore richiede un solo bilancio indipendente perché ogni uscita ha la stessa composizione dell'ingresso.

La regola essenziale è conservare la massa totale e la massa delle singole specie senza conteggiare equazioni matematicamente ridondanti. Nelle reti sequenziali, risolvi prima le unità più semplici e completamente definite, quindi usa le correnti di uscita calcolate come ingressi per le operazioni successive.

Definizione della struttura del bilancio

Definire i confini del sistema

Un bilancio di materia inizia con un volume di controllo chiaramente definito attorno all'intero impianto pilota, a un sottosistema o a una singola unità. Il confine determina quali correnti sono trattate come ingressi e uscite e quali collegamenti sono interni.

Per un volume di controllo generale:

[ \text{Accumulo} = \text{Ingresso} - \text{Uscita} + \text{Generazione} - \text{Consumo} ]

Per i sistemi non reattivi, generazione e consumo sono nulli. In condizioni stazionarie, anche l'accumulo è nullo, quindi:

[ \text{Ingresso totale} = \text{Uscita totale} ]

Selezionare una base di calcolo

La base può essere un intervallo di tempo misurato, ad esempio un'ora di funzionamento, oppure una portata massica o molare totale specificata. Tutte le quantità delle correnti devono utilizzare una base e un sistema di unità coerenti.

Le portate massiche possono essere utilizzate direttamente. Le portate molari possono essere preferibili quando le composizioni, i pesi molecolari o la stechiometria della reazione sono centrali nell'analisi.

Utilizzare le portate dei componenti

Per una corrente con portata massica totale (\dot{m}) e frazione massica (w_i) del componente (i), la portata del componente è:

[ \dot{m}_i = \dot{m}w_i ]

Scrivere i bilanci in termini di portate dei componenti riduce l'ambiguità, soprattutto quando diverse correnti hanno concentrazioni differenti.

Applicazione dei bilanci a una fase di miscelazione

Scrivere un bilancio per ogni componente

Un miscelatore non reattivo combina le correnti in ingresso in un'unica corrente di uscita. Per ogni componente (i):

[ \sum_j \dot{m}{j,i} = \dot{m}{\text{out},i} ]

Per un miscelatore a due correnti contenente i componenti (A) e (B):

[ \dot{m}{1,A}+\dot{m}{2,A}=\dot{m}_{3,A} ]

[ \dot{m}{1,B}+\dot{m}{2,B}=\dot{m}_{3,B} ]

Queste equazioni determinano la composizione dell'uscita quando sono note le portate e le composizioni degli ingressi.

Includere con attenzione il bilancio totale

Il bilancio totale è:

[ \sum_j \dot{m}j = \dot{m}{\text{out}} ]

È utile come controllo di coerenza, ma potrebbe non essere indipendente da tutti i bilanci dei componenti. Se sono già stati scritti i bilanci per ogni componente, l'aggiunta del bilancio totale può creare un'equazione ridondante.

Per un sistema con (N) componenti chimici indipendenti, il numero massimo di equazioni indipendenti di bilancio di materia è generalmente (N). Il bilancio totale è spesso la somma dei bilanci dei componenti.

Determinare la composizione della miscela

Una volta note la portata totale in uscita e le portate dei singoli componenti, la frazione massica in uscita è:

[ w_{\text{out},i} = \frac{\dot{m}{\text{out},i}}{\dot{m}{\text{out}}} ]

La composizione della corrente miscelata in uscita diventa la composizione in ingresso per l'unità successiva a valle.

Applicazione dei bilanci a un divisore

Riconoscere il vincolo di composizione uguale

Un divisore ideale suddivide una singola corrente in ingresso in più correnti di uscita senza modificarne la composizione. Se l'ingresso contiene il componente (i) con frazione massica (w_i), ogni uscita ha:

[ w_{k,i}=w_i ]

Il divisore modifica la distribuzione della portata, non la composizione.

Utilizzare un unico bilancio di portata indipendente

Per un divisore con un ingresso e (n) uscite:

[ \dot{m}{\text{in}} = \dot{m}{\text{out},1}+ \dot{m}{\text{out},2}+\cdots+ \dot{m}{\text{out},n} ]

Questa è l'unica equazione indipendente di bilancio di materia per il divisore.

È possibile scrivere anche i bilanci dei componenti:

[ \dot{m}{\text{in}}w_i = \sum{k=1}^{n}\dot{m}{\text{out},k}w{k,i} ]

Poiché (w_{k,i}=w_i), questa equazione si riduce al bilancio della portata totale moltiplicato per (w_i). Pertanto, i bilanci dei componenti in un divisore ideale non forniscono informazioni indipendenti aggiuntive.

Applicare una frazione di divisione specificata

Se l'uscita (k) riceve una frazione nota (f_k) della portata in ingresso:

[ \dot{m}{\text{out},k}=f_k\dot{m}{\text{in}} ]

Le frazioni devono soddisfare:

[ \sum_{k=1}^{n} f_k=1 ]

La portata del componente in ciascuna uscita è quindi:

[ \dot{m}_{\text{out},k,i}

\dot{m}_{\text{out},k}w_i ]

Risoluzione delle reti sequenziali di miscelazione e divisione

Iniziare dal bilancio complessivo

Per un impianto pilota connesso, inizialmente ignora i collegamenti interni delle correnti e traccia un unico confine attorno all'intero processo. Il bilancio complessivo risultante può stabilire le portate esterne incognite e fornire un prezioso controllo di coerenza.

Questo approccio è particolarmente utile quando la rete interna contiene diverse unità e correnti intermedie che altrimenti introdurrebbero incognite non necessarie.

Risolvere le unità con il minor numero di incognite

Dopo il bilancio complessivo, individua le unità o i sottosistemi con zero gradi di libertà. Un'unità ha zero gradi di libertà quando il numero di equazioni indipendenti è sufficiente a determinare le variabili incognite.

Risolvi prima queste unità, quindi trasferisci le correnti di uscita calcolate alla fase successiva.

Propagare i dati di portata e composizione

Una sequenza tipica potrebbe essere:

Un'alimentazione entra in un miscelatore.
Il miscelatore la combina con una seconda corrente e stabilisce una nuova composizione.
La corrente miscelata entra in un divisore.
Il divisore suddivide la portata preservando la composizione.
Ogni ramo alimenta un altro miscelatore o un'unità a valle.

Il miscelatore ricalcola la composizione. Il divisore trasferisce tale composizione a ciascun ramo e suddivide solo la portata totale.

Utilizzare i gradi di libertà per evitare ridondanze

Per ogni unità, elenca:

Portate note delle correnti
Portate incognite delle correnti
Composizioni note
Composizioni incognite
Equazioni indipendenti di bilancio di materia
Specifiche aggiuntive, come le frazioni di divisione

Quindi calcola:

[ \text{Gradi di libertà}

\text{Incognite}

\text{Equazioni indipendenti} ]

Un risultato negativo o nullo può indicare equazioni ridondanti o un modello sovraspecificato. Un risultato positivo significa che sono necessarie ulteriori misurazioni o specifiche operative.

Esempio di calcolo sequenziale

Miscelazione di due alimentazioni

Supponiamo che la corrente 1 e la corrente 2 entrino in un miscelatore. Per il componente (A):

[ \dot{m}_{3,A}

\dot{m}{1}w{1,A} + \dot{m}{2}w{2,A} ]

La portata totale in uscita è:

[ \dot{m}_{3}

\dot{m}{1}+\dot{m}{2} ]

La composizione in uscita è:

[ w_{3,A}

\frac{\dot{m}{3,A}}{\dot{m}{3}} ]

La stessa procedura si applica a ogni componente indipendente.

Divisione della corrente miscelata

Se la corrente 3 viene suddivisa nelle correnti 4 e 5, allora:

[ \dot{m}{3}=\dot{m}{4}+\dot{m}_{5} ]

Poiché il divisore non separa i componenti:

[ w_{4,A}=w_{5,A}=w_{3,A} ]

Le portate dei componenti sono quindi:

[ \dot{m}{4,A}=\dot{m}{4}w_{3,A} ]

[ \dot{m}{5,A}=\dot{m}{5}w_{3,A} ]

Le due correnti di ramo possono ora essere analizzate indipendentemente come ingressi per le unità a valle.

Ricombinazione o ulteriore miscelazione dei rami

Se le correnti 4 e 5 entrano successivamente in un altro miscelatore, le loro portate dei componenti vengono nuovamente sommate:

[ \dot{m}_{\text{new},A}

\dot{m}{4}w{4,A} + \dot{m}{5}w{5,A} ]

Poiché entrambi i rami provengono dallo stesso divisore, la ricombinazione dovrebbe ricostituire la portata originale del componente, a parte gli errori di misura o le perdite non modellate.

Utilizzo dei bilanci per l'analisi degli impianti pilota

Validare le misurazioni dei sensori

Le portate misurate in ingresso e in uscita dovrebbero soddisfare il bilancio complessivo entro una tolleranza sperimentale accettabile. Discrepanze significative possono indicare errori di calibrazione dei misuratori di portata, perdite, correnti di spurgo non misurate, evaporazione o ipotesi errate riguardo allo stato stazionario.

I divisori sono particolarmente utili per questo controllo perché le composizioni delle uscite dovrebbero coincidere con quella dell'ingresso. Una differenza misurata nella composizione può rivelare errori di campionamento o una separazione imprevista.

Diagnosticare le prestazioni interne

Un bilancio complessivo può mostrare che un processo è incoerente, ma potrebbe non identificare l'unità difettosa. I bilanci a livello di unità localizzano le discrepanze in un miscelatore, un divisore, un serbatoio di accumulo o un ramo a valle.

I bilanci dei componenti forniscono più informazioni diagnostiche rispetto ai bilanci totali quando un componente viene perso, diluito, accumulato o misurato erroneamente.

Supportare la progettazione e l'ottimizzazione

Gli stessi bilanci utilizzati per la verifica in laboratorio supportano il dimensionamento delle apparecchiature, gli studi sulle condizioni operative e l'ottimizzazione del processo. Una volta stabilite le relazioni tra portate e composizioni, gli ingegneri possono valutare come le variazioni delle portate di alimentazione o delle frazioni di divisione influenzino le unità a valle.

Per operazioni più complesse, come le colonne di distillazione, i bilanci si estendono in equazioni simultanee tra i diversi piatti. Il principio di base rimane lo stesso: definire i volumi di controllo e conservare ogni componente indipendente.

Comprendere i compromessi

Non conteggiare le equazioni ridondanti

Scrivere un bilancio totale oltre a ogni bilancio dei componenti può sembrare fornire informazioni aggiuntive. Tuttavia, in un sistema in cui il bilancio totale è la somma dei bilanci dei componenti, ciò non aumenta il numero di equazioni indipendenti.

Le equazioni ridondanti possono far apparire un modello più vincolato di quanto sia realmente e possono causare problemi nelle procedure di soluzione manuali o numeriche.

I divisori ideali sono semplificazioni

L'ipotesi di divisore ideale significa che le composizioni delle uscite sono uguali a quella dell'ingresso. È appropriata quando il dispositivo si limita a dividere la portata, ma non si applica se l'unità provoca sedimentazione, separazione di fase, adsorbimento selettivo, evaporazione o un altro effetto di separazione.

Se la composizione cambia attraverso il dispositivo, ogni uscita richiede una propria relazione tra i componenti o dati misurati sulla composizione.

Lo stato stazionario può essere un'approssimazione

L'ipotesi di stato stazionario elimina l'accumulo dal bilancio. Durante l'avviamento, l'arresto, le variazioni dell'alimentazione o il funzionamento instabile, l'inventario all'interno dei serbatoi e delle linee di collegamento può cambiare significativamente.

In questi casi, il bilancio transitorio deve includere:

[ \frac{d(\hat{\rho}V)}{dt} ]

Ignorare l'accumulo può attribuire erroneamente le variazioni temporanee dell'inventario a perdite o perdite dovute alla reazione.

L'accordo del bilancio totale non è sufficiente

Un processo può soddisfare il bilancio di massa totale violando al contempo i bilanci dei singoli componenti. Ad esempio, un componente può essere misurato erroneamente mentre un altro errore lo compensa nel totale.

Un'analisi affidabile di un impianto pilota combina quindi bilanci totali, dei componenti e, ove appropriato, bilanci elementari.

Fare la scelta giusta in base al proprio obiettivo

Utilizza la struttura di bilancio che corrisponde allo scopo dell'analisi dell'impianto pilota.

Se il tuo obiettivo principale è la riconciliazione delle portate: inizia con il bilancio totale complessivo allo stato stazionario, quindi verifica la coerenza di ogni divisore e sottosistema collegato.
Se il tuo obiettivo principale è la previsione della composizione: scrivi un bilancio indipendente per ogni componente chimico in ogni miscelatore e propaga la composizione risultante attraverso i divisori a valle.
Se il tuo obiettivo principale è la risoluzione dei problemi: confronta i bilanci totali e dei componenti ai confini delle singole unità per distinguere tra errore del sensore, perdita, accumulo e separazione imprevista.
Se il tuo obiettivo principale è lo sviluppo del modello: esegui un'analisi dei gradi di libertà e rimuovi i bilanci dei componenti ridondanti dei divisori prima di risolvere la rete sequenziale.
Se il tuo obiettivo principale è il funzionamento transitorio: mantieni il termine di accumulo e raccogli dati dipendenti dal tempo relativi a portate, concentrazioni e inventario dei serbatoi.

Una scelta rigorosa dei volumi di controllo e delle equazioni indipendenti trasforma una rete sequenziale di impianto pilota in un modello di bilancio di materia risolvibile e utile per la diagnostica.

Tabella riepilogativa:

Area di interesse	Principio chiave	Applicazione pratica
Volume di controllo	Definire i confini del sistema e le correnti di processo	Analizzare l'intero impianto, un sottosistema o una singola unità
Miscelatore	Scrivere un bilancio indipendente per ogni componente	Calcolare le portate in uscita e la composizione della miscela
Divisore	Utilizzare un bilancio della portata totale e conservare la composizione in ingresso	Determinare le portate dei rami a partire dalle frazioni di divisione
Rete sequenziale	Risolvere prima le unità completamente definite	Trasferire i dati di uscita calcolati alle fasi successive
Gradi di libertà	Conteggiare le incognite e le equazioni indipendenti	Evitare equazioni ridondanti o insufficienti
Validazione	Confrontare i bilanci totali e dei componenti	Identificare perdite, errori dei sensori, accumulo o separazione imprevista
Condizioni operative	Includere l'accumulo durante il funzionamento transitorio	Migliorare l'analisi durante l'avviamento, l'arresto o la variazione delle alimentazioni

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