Il tensore degli sforzi viscosi collega ciò che misurano gli strumenti dell'impianto pilota al modo in cui i fluidi trasportano la quantità di moto. In un fluido newtoniano, gli sforzi viscosi vengono calcolati a partire dai gradienti di velocità locali e dalla viscosità dinamica. Negli impianti pilota di ingegneria chimica, questa formulazione viene utilizzata per interpretare lo sforzo di taglio alla parete, i profili di velocità, le perdite di carico, il comportamento di miscelamento, il flusso negli scambiatori di calore e le decisioni di scale-up.

Il tensore degli sforzi converte la deformazione del fluido in sforzo meccanico. Per i liquidi newtoniani incomprimibili, la pressione rappresenta la parte isotropa dello sforzo totale, mentre il tensore viscoso descrive il taglio e la deformazione causati dai gradienti di velocità.

Cosa rappresenta il tensore degli sforzi viscosi

Sforzo in un punto del fluido

Un elemento di fluido subisce forze superficiali dal fluido circostante. Queste forze variano con l'orientamento della superficie, quindi sono rappresentate da un tensore del secondo ordine piuttosto che da uno scalare singolo.

Il tensore degli sforzi di Cauchy totale è comunemente decomposto come

[ \boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau}, ]

dove (p) è la pressione termodinamica, (\mathbf{I}) è il tensore identità e (\boldsymbol{\tau}) è il tensore degli sforzi viscosi.

La convenzione dei segni sopra indicata tratta la pressione positiva come compressiva. Altri testi utilizzano segni diversi, quindi la convenzione deve rimanere coerente durante tutto l'esperimento o il modello.

Simmetria del tensore

Per i fluidi convenzionali senza coppie di volume distribuite, il tensore degli sforzi è simmetrico:

[ \tau_{xy}=\tau_{yx},\qquad \tau_{xz}=\tau_{zx},\qquad \tau_{yz}=\tau_{zy}. ]

Sebbene un tensore (3 \times 3) contenga nove voci, questa simmetria lascia sei componenti di sforzo indipendenti: tre sforzi normali e tre sforzi di taglio.

Questa proprietà è importante nei calcoli degli impianti pilota perché lo sforzo che agisce su una superficie e il corrispondente bilancio dei momenti devono essere fisicamente compatibili. Fluidi polari specializzati o fluidi soggetti a significativi momenti torcenti di volume richiedono una teoria più generale, ma ciò esula dalla maggior parte degli esperimenti convenzionali sulle operazioni unitarie.

Come i gradienti di velocità producono sforzi viscosi

Equazione costitutiva newtoniana

Per un fluido newtoniano isotropo, lo sforzo viscoso è linearmente correlato al tensore della velocità di deformazione:

[ \boldsymbol{\tau}

2\mu\mathbf{D} + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I}, ]

con

[ \mathbf{D}

\frac{1}{2} \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^{T} \right]. ]

Qui, (\mu) è la viscosità dinamica, (\lambda) è il secondo coefficiente di viscosità e (\mathbf{v}) è il campo di velocità.

Il tensore (\mathbf{D}) cattura la parte del gradiente di velocità associata alla deformazione del fluido. La rotazione di corpo rigido cambia l'orientamento di un elemento di fluido ma, di per sé, non crea sforzo viscoso newtoniano.

Operazioni con liquidi incomprimibili

Per un flusso incomprimibile,

[ \nabla\cdot\mathbf{v}=0. ]

L'equazione costitutiva si riduce quindi a

[ \boldsymbol{\tau}=2\mu\mathbf{D}. ]

Per un semplice flusso di taglio nella direzione (x) con velocità variabile lungo (y),

[ v_x=v_x(y), ]

lo sforzo di taglio rilevante diventa

[ \tau_{xy}

\mu\frac{dv_x}{dy}. ]

Questa è la relazione applicata più direttamente nelle dimostrazioni di flusso laminare in tubi, banchi di prova per l'attrito alla parete, esperimenti con viscosimetri e analisi semplificate di miscelamento.

Componenti normali e di taglio

I termini fuori diagonale, come (\tau_{xy}), descrivono gli sforzi di taglio. Essi sorgono quando strati di fluido adiacenti si muovono a velocità diverse.

I termini diagonali descrivono gli sforzi normali viscosi. In un flusso di taglio semplice, stazionario e incomprimibile con viscosità costante, questi termini spesso svaniscono o diventano trascurabili, ma possono essere importanti nei flussi estensionali, nei passaggi convergenti, nei getti e nelle geometrie complesse dei miscelatori.

Come il tensore entra nel bilancio della quantità di moto

Equazione locale della quantità di moto

L'applicazione di un bilancio della quantità di moto a un elemento di fluido infinitesimale fornisce

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\rho\mathbf{g} + \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}, ]

dove (\rho) è la densità, (\mathbf{g}) è l'accelerazione di gravità e (D\mathbf{v}/Dt) è l'accelerazione materiale.

Utilizzando la decomposizione degli sforzi si ottiene

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\rho\mathbf{g}

\nabla p + \nabla\cdot\boldsymbol{\tau}. ]

Il gradiente di pressione rappresenta la forza isotropa che guida o resiste al moto globale del fluido. La divergenza del tensore viscoso rappresenta la forza viscosa netta per unità di volume risultante dalle variazioni spaziali nello sforzo viscoso.

Connessione all'equazione di Navier–Stokes

Per un fluido newtoniano a viscosità costante, il termine viscoso si semplifica in

[ \nabla\cdot\boldsymbol{\tau}

\mu\nabla^2\mathbf{v} ]

quando il flusso è incomprimibile. L'equazione della quantità di moto diventa quindi

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\rho\mathbf{g}

\nabla p + \mu\nabla^2\mathbf{v}. ]

Questa equazione è la base matematica per interpretare le misurazioni di velocità e pressione nelle apparecchiature su scala pilota.

Trazione superficiale e operazioni tensoriali

La trazione che agisce su una superficie con normale unitaria (\mathbf{n}) si ottiene dal tensore degli sforzi:

[ \mathbf{t}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}. ]

Il risultato è un vettore contenente sia componenti di forza normale che tangenziale su quella superficie. Questa operazione è essenziale quando si calcolano le forze sulle pareti dei tubi, sulle superfici di riempimento, sulle pale degli agitatori, sulle pareti degli scambiatori di calore e su altri confini delle apparecchiature.

Poiché la moltiplicazione tensore-vettore dipende dall'ordine dell'operazione, le convenzioni di indice e matrice adottate devono essere utilizzate in modo coerente. Per i tensori degli sforzi simmetrici dei fluidi newtoniani convenzionali, le relazioni fisiche rilevanti sono coerenti con il bilancio dei momenti.

Applicazioni nelle operazioni unitarie dell'impianto pilota

Flusso nei tubi ed esperimenti sull'attrito dei fluidi

In un tubo circolare completamente sviluppato, il gradiente di pressione assiale è bilanciato dalla variazione radiale dello sforzo di taglio. Lo sforzo di taglio alla parete è direttamente correlato alla perdita di carico su una lunghezza misurata del tubo:

[ \tau_w

-\frac{R}{2}\frac{dp}{dx}, ]

per un tubo di raggio (R), soggetto alle solite ipotesi di flusso stazionario e completamente sviluppato.

Nel regime laminare, combinare questo bilancio con la relazione costitutiva newtoniana produce il profilo di velocità parabolico. Le misurazioni dell'impianto pilota della portata e della perdita di carico possono quindi essere confrontate con lo sforzo alla parete, il fattore di attrito e la richiesta della pompa previsti.

Pompe e reti di tubazioni

La formulazione tensoriale identifica come la quantità di moto viene dissipata attraverso i gradienti di velocità vicino alle pareti solide e nei raccordi. Queste perdite locali contribuiscono alla prevalenza che le pompe devono fornire.

Su scala pilota, i dati risultanti sulla perdita di carico aiutano a determinare se una pompa, un diametro del tubo, una disposizione delle valvole o una portata operativa siano appropriati per un processo più ampio. Il modello degli sforzi è particolarmente utile quando si confrontano fluidi con viscosità diverse.

Scambiatori di calore

Nei canali degli scambiatori di calore, gli sforzi viscosi determinano la distribuzione della velocità e la resistenza idraulica. Il campo di velocità influenza quindi il tempo di residenza, lo sviluppo dello strato limite e il coefficiente di trasferimento di calore convettivo.

Un modello di sforzo da solo non prevede il trasferimento di calore. Esso fornisce il campo della quantità di moto che deve essere accoppiato con l'equazione dell'energia e, ove pertinente, con la viscosità e la densità dipendenti dalla temperatura.

Serbatoi di miscelazione e reattori

Nei serbatoi agitati, gli agitatori creano forti variazioni spaziali nella velocità. Il tensore degli sforzi viscosi descrive il tasso di deformazione locale, mentre il campo di flusso risultante influenza il miscelamento, la circolazione, la sospensione e la dissipazione di energia.

Per fluidi altamente viscosi, le previsioni degli sforzi laminari o di transizione possono essere strettamente collegate alla coppia e alla potenza del miscelatore. Per il funzionamento turbolento, lo sforzo del flusso medio deve includere anche l'effetto delle fluttuazioni di velocità.

Colonne a riempimento e apparecchiature di separazione

Nei letti e nelle colonne a riempimento, i gradienti di velocità si verificano attorno alle superfici di riempimento e all'interno di stretti passaggi di flusso. Gli sforzi associati contribuiscono alla perdita di carico per attrito e influenzano la distribuzione del liquido.

Il quadro tensoriale è più utile quando contano la distribuzione locale non uniforme, la canalizzazione o gli effetti di parete. Le correlazioni basate solo sulla portata media possono essere adeguate per la progettazione di routine, ma non rivelano le concentrazioni di sforzo locale.

Dal flusso laminare al flusso turbolento

Sforzi di Reynolds

Nel flusso turbolento, la velocità istantanea viene scomposta in parti medie e fluttuanti:

[ u_i=\overline{u_i}+u_i'. ]

La media delle equazioni della quantità di moto introduce gli sforzi di Reynolds, come

[ \tau_{xy}^{R}

-\rho,\overline{u'v'}. ]

Questi non sono sforzi viscosi molecolari. Rappresentano il trasporto di quantità di moto causato dalle fluttuazioni di velocità turbolente e devono essere modellati o misurati quando si risolve il flusso medio.

Trasporto apparente della quantità di moto

Gli sforzi di Reynolds aumentano il trasporto efficace della quantità di moto rispetto alla sola viscosità molecolare. Questo è il motivo per cui le perdite di carico turbolente, l'attrito alla parete e le prestazioni di miscelamento non possono generalmente essere previste utilizzando l'equazione costitutiva laminare senza modifiche.

Nei modelli ingegneristici, per rappresentare questo trasporto aggiuntivo vengono utilizzati chiusure della turbolenza, modelli di viscosità turbolenta o correlazioni di attrito adattate sperimentalmente.

Comportamento vicino alla parete

Il sottostrato viscoso vicino a una parete impermeabile è dominato dalla viscosità molecolare, mentre più lontano dalla parete il trasporto turbolento diventa sempre più importante. I metodi numerici di campo possono risolvere direttamente questa regione o utilizzare funzioni di parete per collegare le regioni di flusso vicino alla parete e quello esterno.

Gli impianti pilota possono utilizzare perdite di carico misurate, profili di velocità o sonde locali per valutare se il modello di turbolenza selezionato rappresenti accuratamente l'apparecchiatura.

Comprendere i compromessi

I modelli tensoriali sono locali, gli strumenti sono spesso mediati

Il tensore degli sforzi è definito punto per punto, ma gli strumenti dell'impianto pilota riportano comunemente quantità mediate come la portata totale, la pressione di ingresso e uscita, la coppia o la temperatura globale.

Una perdita di carico misurata può convalidare una conseguenza integrata del campo di sforzo, ma non determina in modo univoco ogni valore locale di sforzo o velocità.

Le ipotesi newtoniane possono fallire

La relazione

[ \boldsymbol{\tau}=2\mu\mathbf{D} ]

assume un fluido newtoniano con viscosità indipendente dalla storia della deformazione e dal tasso di taglio. Soluzioni polimeriche, fanghi, emulsioni, paste e alcuni fluidi biologici possono essere fluidi pseudoplastici (shear-thinning), dilatanti (shear-thickening), viscoelastici o a soglia di scorrimento.

Per questi materiali, l'equazione costitutiva deve essere sostituita con un modello reologico appropriato. L'utilizzo di una viscosità costante può produrre previsioni fuorvianti di perdita di carico, potenza del miscelatore e comportamento di scale-up.

L'incomprimibilità ha dei limiti

La condizione (\nabla\cdot\mathbf{v}=0) è solitamente adatta per le operazioni unitarie con liquidi quando le variazioni di densità sono piccole. Potrebbe non essere adatta per gas ad alta velocità, forti variazioni di pressione, flusso comprimibile o processi con una sostanziale espansione termica.

La formulazione corretta deve tenere conto della variazione di densità quando la comprimibilità influenza l'esperimento.

Lo scale-up non preserva ogni quantità

La sola corrispondenza delle dimensioni geometriche non garantisce campi di sforzo dinamicamente simili. Il numero di Reynolds, il regime di flusso, la viscosità, la rugosità, le condizioni dell'agitatore, il tempo di residenza e i gruppi adimensionali rilevanti possono tutti influenzare il risultato.

Un esperimento pilota è più prezioso quando le sue condizioni operative e i risultati misurati vengono selezionati per supportare un criterio di scale-up chiaramente definito.

Come applicarlo al tuo progetto

La formulazione matematica diventa utile quando è collegata a variabili operative misurabili e a una specifica domanda di progettazione.

Se il tuo obiettivo principale è la previsione della perdita di carico: Misura la portata, le proprietà del fluido, la geometria del tubo o del canale e la perdita di pressione, quindi utilizza il bilancio degli sforzi viscosi per valutare lo sforzo alla parete e il comportamento dell'attrito.
Se il tuo obiettivo principale sono i profili di velocità laminari: Applica la relazione costitutiva newtoniana al gradiente di velocità misurato e confronta il profilo previsto con i dati di velocità locale.
Se il tuo obiettivo principale è il flusso turbolento in tubi o canali: Includi gli sforzi di Reynolds attraverso un modello di turbolenza appropriato o una correlazione convalidata, invece di trattare la viscosità molecolare come l'unico meccanismo di trasporto della quantità di moto.
Se il tuo obiettivo principale sono le prestazioni di miscelamento: Metti in relazione i tassi di deformazione locale e la dissipazione di energia con la velocità dell'agitatore, la coppia, la viscosità e le misurazioni di concentrazione o tracciante.
Se il tuo obiettivo principale è la progettazione di scambiatori di calore: Usa la formulazione degli sforzi per ottenere il campo di velocità, quindi accoppialo con l'equazione dell'energia per prevedere il trasferimento di calore convettivo.
Se il tuo obiettivo principale è lo scale-up: Preserva i gruppi adimensionali e il regime di flusso che controllano il comportamento rilevante di sforzo, perdita di carico, miscelamento o trasferimento di calore.

Un impianto pilota trasforma il tensore degli sforzi viscosi da un'equazione astratta della meccanica del continuo in uno strumento pratico per misurare, convalidare e scalare il trasporto dei fluidi.

Tabella riassuntiva:

Applicazione	Cosa aiuta a determinare il tensore degli sforzi	Misurazioni o input chiave
Flusso nei tubi	Sforzo di taglio alla parete, profili di velocità, attrito e perdita di carico	Portata, perdita di pressione, raggio, viscosità
Pompe e tubazioni	Perdite idrauliche e requisiti della pompa	Layout dei tubi, raccordi, portata, proprietà del fluido
Scambiatori di calore	Distribuzione della velocità, resistenza idraulica e condizioni di flusso per il trasferimento di calore	Geometria del canale, portata, temperatura, viscosità
Serbatoi di miscelazione e reattori	Tasso di deformazione, coppia, potenza, circolazione e comportamento di miscelamento	Velocità dell'agitatore, coppia, viscosità, dati del tracciante
Colonne a riempimento	Perdita di carico per attrito, distribuzione del liquido e canalizzazione	Geometria del riempimento, portata, proprietà del fluido
Sistemi turbolenti	Trasporto aggiuntivo di quantità di moto dagli sforzi di Reynolds	Numero di Reynolds, dati di velocità, modello di turbolenza
Studi di scale-up	Similitudine dinamica e conservazione del comportamento di flusso rilevante	Gruppi adimensionali, condizioni operative, geometria

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