L’approssimazione della lubrificazione è applicabile quando un canale rastremato è lungo e poco profondo, la sua geometria varia gradualmente e l’inerzia rimane ridotta. Nelle apparecchiature di ingegneria chimica su scala pilota, i criteri principali sono la snellezza geometrica, un numero di Reynolds ridotto piccolo e una lunghezza del canale molto maggiore della lunghezza idrodinamica di ingresso. In queste condizioni, il flusso è localmente equivalente al flusso di Poiseuille tra piastre parallele, con un profilo di velocità quasi parabolico che si adatta gradualmente lungo il canale.
Concetto chiave: Utilizzare l’approssimazione della lubrificazione quando la dimensione trasversale del canale è molto più piccola della scala longitudinale di variazione, (Re, (L_y/L_x)\ll 1), e gli effetti di ingresso sono confinati in una regione molto più corta della lunghezza dell’apparecchiatura.
La condizione geometrica: rastremazione graduale
L’altezza del canale deve variare lentamente
Siano (h_0) e (h_L) le semi-altezze del canale a monte e a valle, e sia (L) la lunghezza del canale. Il requisito geometrico principale è
[ \frac{h_0-h_L}{L}\ll 1. ]
Ciò significa che la variazione della distanza tra i canali lungo l’intera lunghezza dell’apparecchiatura deve essere piccola rispetto a tale lunghezza.
Interpretazione generale della snellezza
Più in generale, la scala di lunghezza trasversale (L_y), come la distanza o l’altezza del canale, deve essere molto più piccola della scala di lunghezza longitudinale (L_x) lungo la quale variano la velocità e la geometria:
[ \frac{L_y}{L_x}\ll 1. ]
Per un canale rastremato, questa condizione garantisce che le pareti appaiano quasi parallele al fluido in qualsiasi sezione trasversale locale.
Perché è importante
Una rastremazione ridotta consente al profilo di flusso di adattarsi continuamente, anziché attraverso una forte accelerazione, ricircolo o separazione. Il canale può quindi essere trattato come una sequenza di brevi canali localmente paralleli.
La condizione dinamica: l’inerzia deve essere ridotta
Criterio basato sul numero di Reynolds ridotto
Per le variabili definite nel riferimento, il requisito dinamico è
[ \left(\frac{q}{2\nu}\right) \frac{h_0-h_L}{L}\ll 1, ]
dove (q) è la portata volumetrica per unità di larghezza e (\nu) è la viscosità cinematica.
Questa è la forma per un canale rastremato della condizione generale di lubrificazione
[ Re\left(\frac{L_y}{L_x}\right)\ll 1. ]
Significato fisico
La condizione richiede che le forze viscose longitudinali predominino sulle forze inerziali associate all’accelerazione del fluido lungo la rastremazione. Il flusso non deve accelerare così rapidamente da causare, per effetto dell’inerzia convettiva, deviazioni significative dal profilo localmente parabolico.
Valutazione locale, non soltanto media
Il criterio deve essere verificato utilizzando le condizioni locali più restrittive, in particolare dove il canale è più stretto e la velocità media è più elevata. Un canale che soddisfa una stima globale può comunque violare l’approssimazione localmente se la distanza a valle diventa sufficientemente piccola.
La condizione relativa alla lunghezza di ingresso
Gli effetti di ingresso devono essere confinati
La lunghezza complessiva del canale deve essere molto maggiore della lunghezza idrodinamica viscosa di ingresso:
[ L\gg L_V. ]
Ciò garantisce che la regione di ingresso in sviluppo non occupi una frazione sostanziale della sezione rastremata.
Perché la regione di ingresso è importante
Il modello di lubrificazione presuppone che il profilo di velocità sia già prossimo alla sua forma locale di flusso viscoso. In prossimità di un ingresso, gli strati limite si sviluppano a partire dalle pareti e il profilo potrebbe non essere ancora parabolico; pertanto, gli effetti di ingresso possono invalidare una descrizione del flusso locale completamente sviluppato.
Interpretazione pratica per le apparecchiature pilota
Se l’apparecchiatura è corta, l’ingresso è brusco o il flusso entra attraverso un collettore o una contrazione, la regione di ingresso può essere importante anche quando la rastremazione è dolce. In tal caso, la sezione di ingresso dovrebbe essere modellata separatamente o esclusa dalla regione trattata con la teoria della lubrificazione.
Cosa consente di trascurare l’approssimazione
Variazione trasversale della pressione
In condizioni di lubrificazione, la pressione è approssimativamente uniforme in ciascuna sezione trasversale locale del canale:
[ \frac{\partial p}{\partial y}\approx 0. ]
La pressione varia quindi principalmente lungo la direzione longitudinale.
Velocità trasversale significativa
La velocità dominante è assiale, mentre la velocità trasversale è più piccola di una quantità associata al ridotto rapporto d’aspetto geometrico. Il flusso viene quindi trattato come quasi unidirezionale.
Inerzia bidimensionale completa
Quando
[ Re\left(\frac{L_y}{L_x}\right)\ll 1, ]
il bilancio della quantità di moto al primo ordine è costituito dal gradiente di pressione assiale e dalla diffusione viscosa attraverso la distanza. Il profilo di velocità locale risultante è parabolico per un fluido newtoniano con pareti stazionarie.
Modello di flusso risultante
Comportamento locale di Poiseuille
In ogni posizione longitudinale, il canale rastremato può essere trattato come un canale a piastre parallele con semi-altezza locale (h(x)). Il profilo di velocità assiale è quindi localmente parabolico, sebbene la sua intensità vari con (x).
Variazione uniforme della pressione e della velocità
La velocità media locale, il gradiente di pressione e lo sforzo di taglio alla parete variano uniformemente lungo il canale al variare della distanza. Ciò rende l’approssimazione utile per stimare la perdita di pressione, la distribuzione del flusso e i requisiti di pompaggio nelle operazioni unitarie su scala pilota.
Applicabilità alle apparecchiature di ingegneria chimica
L’approccio è particolarmente indicato per passaggi che convergono o divergono lentamente in apparecchiature come sezioni di flusso a intercapedine ridotta, canali per processi viscosi e altri dispositivi su scala pilota in cui il flusso è stazionario, laminare e guidato dalla pressione.
Comprendere i compromessi
Una rastremazione dolce non garantisce la validità
La sola snellezza geometrica non è sufficiente. Un fluido molto viscoso può soddisfare la condizione dinamica a portate elevate, mentre un fluido a bassa viscosità può violarla anche in un canale geometricamente snello.
Le distanze ridotte possono aumentare l’inerzia locale
Quando la distanza diminuisce, la velocità media locale generalmente aumenta a portata per unità di larghezza costante. La sezione più stretta può quindi determinare la validità dell’approssimazione e deve essere verificata, anziché fare affidamento soltanto sulle dimensioni di ingresso.
La geometria brusca non rientra nel modello
Contrazioni improvvise, espansioni, angoli acuti, forte curvatura delle pareti e flussi separati o con ricircolo non sono descritti in modo affidabile dalla semplice approssimazione della lubrificazione. Queste regioni richiedono un modello più completo, che spesso include un’analisi bidimensionale o di fluidodinamica computazionale.
I fluidi non newtoniani richiedono un profilo adattato
L’affermazione relativa al profilo parabolico si applica al flusso viscoso newtoniano. Per i fluidi di processo non newtoniani, il quadro della lubrificazione può essere comunque utile, ma il profilo di velocità locale e la relazione pressione-portata devono essere sostituiti con il modello costitutivo appropriato.
Come applicare questo criterio alla propria apparecchiatura pilota
Verificare le seguenti condizioni lungo l’intera sezione rastremata prima di utilizzare l’approssimazione:
- Se l’obiettivo principale è la validità geometrica: Confermare che (\left(h_0-h_L\right)/L\ll1), o equivalentemente che il rapporto tra la distanza e la lunghezza della variazione longitudinale sia molto inferiore a uno.
- Se l’obiettivo principale riguarda gli effetti inerziali: Verificare che (\left(q/2\nu\right)\left[(h_0-h_L)/L\right]\ll1), utilizzando, ove appropriato, la velocità locale più elevata o la distanza più restrittiva.
- Se l’obiettivo principale è la modellazione dell’ingresso: Assicurarsi che (L\gg L_V), oppure trattare separatamente la regione di ingresso se occupa una parte considerevole del canale.
- Se l’obiettivo principale è la previsione della perdita di pressione: Utilizzare la relazione locale di Poiseuille tra piastre parallele solo dopo aver confermato che i gradienti di pressione trasversali, la separazione e l’inerzia significativa siano trascurabili.
- Se l’obiettivo principale riguarda apparecchiature con caratteristiche brusche o fluidi complessi: Non applicare il modello di base senza modificarlo; tenere esplicitamente conto della geometria, della reologia e degli effetti del flusso in sviluppo.
Quando queste condizioni sono soddisfatte, l’approssimazione della lubrificazione fornisce un modello affidabile ed efficiente per il flusso viscoso in canali pilota rastremati gradualmente.
Tabella riepilogativa:
| Criterio | Requisito | Verifica pratica |
|---|---|---|
| Snellezza geometrica | La scala trasversale è molto più piccola della scala di variazione longitudinale | Confermare (h0 - hL) / L << 1 |
| Numero di Reynolds ridotto | Gli effetti inerziali rimangono trascurabili | Verificare localmente (q / 2nu) x [(h0 - hL) / L] << 1 |
| Lunghezza di ingresso | La regione di flusso sviluppato è predominante | Assicurarsi che L >> LV, oppure modellare separatamente l’ingresso |
| Comportamento del flusso | Flusso uniforme, laminare e guidato dalla pressione | Escludere contrazioni brusche, separazione e ricircolo |
| Modello del fluido | Un fluido newtoniano produce un profilo locale parabolico | Adattare il modello costitutivo per i fluidi non newtoniani |
| Risultati validi | Velocità locale, perdita di pressione, sforzo di taglio e distribuzione del flusso | Utilizzare le relazioni locali di Poiseuille tra piastre parallele dopo la validazione |
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